理解 GAMES101 中投影矩阵的奥秘

GAMES101 投影矩阵：推导详解和分析

投影矩阵在计算机图形学中扮演着至关重要的角色，它负责将 3D 场景映射到 2D 平面，从而便于渲染。在 GAMES101 这门课程中，投影矩阵的推导方式独树一帜，本文将对这一推导过程进行详尽的分析，帮助读者深入理解投影矩阵的原理。

导言

在讲解投影矩阵之前，我们先回顾一下 GAMES101 中的坐标系约定，与 OpenGL 中的右手坐标系不同，GAMES101 采用的是左手坐标系，即 x 轴指向右，y 轴指向上，z 轴指向里。这一差异影响了投影矩阵的推导方式。

投影矩阵的推导

投影矩阵的推导主要分为两个步骤：

1. 透视投影： 将 3D 场景投影到近裁剪平面，形成一个四棱锥体。投影矩阵通过调整透视变换的参数来控制透视效果。
2. 正交投影： 将四棱锥体进一步投影到正交平面，形成最终的 2D 图像。正交矩阵将 3D 空间中平行的线段映射到 2D 图像中平行的线段。

GAMES101 中投影矩阵的独特之处

GAMES101 中投影矩阵的推导方式与 OpenGL 不同，主要表现在以下几个方面：

1. 左手坐标系： GAMES101 采用左手坐标系，这导致投影矩阵中的某些元素与 OpenGL 中不同。
2. 单位化： GAMES101 的投影矩阵需要归一化，以保持透视投影的效果。
3. 剪裁平面： GAMES101 中定义了近裁剪平面和远裁剪平面，它们用于剔除不在视野范围内的物体。

举例说明

为了便于理解，我们以一个具体的示例来演示 GAMES101 中投影矩阵的推导。假设我们有一个场景，其中有一个立方体位于原点。使用透视投影，我们将这个立方体投影到距离观察者 1 个单位的近裁剪平面上。

投影矩阵的推导步骤如下：

1. 透视投影矩阵：

P = [1, 0, 0, 0]
    [0, 1, 0, 0]
    [0, 0, -1, -1]
    [0, 0, 0, 1]

2. 正交投影矩阵：

O = [1, 0, 0, 0]
    [0, 1, 0, 0]
    [0, 0, 1, 0]
    [0, 0, 0, 1]

3. 投影矩阵：

M = P * O = [1, 0, 0, 0]
             [0, 1, 0, 0]
             [0, 0, 0, -1]
             [0, 0, -1, 0]

该投影矩阵将立方体投影到近裁剪平面上，并将其归一化，以保持透视效果。

分析与应用

GAMES101 中投影矩阵的推导方式为我们提供了另一种理解投影矩阵原理的视角。它强调了坐标系约定、单位化和剪裁平面的重要性。掌握了这些原理，我们可以在各种图形学应用中灵活运用投影矩阵。

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