PyTorch PINN 二维弹性力学问题中 sigma_xx 预测精度改进方法

2024-11-24 13:47:01

PyTorch PINN: inaccurate sigma_xx 预测问题解析

在使用物理信息神经网络 (PINN) 解决二维弹性力学问题时，经常会遇到一个棘手的问题：尽管位移 (ux, uy) 和其他应力分量 (sigma_yy, sigma_xy) 与有限元分析 (FEM) 结果吻合良好，但 sigma_xx 的预测值却偏差较大。本文将深入探讨可能导致此问题的原因，并提供相应的解决方案。

问题分析

sigma_xx 预测精度问题通常源于以下几个方面：

边界条件实现 : sigma_xx 的精度对边界条件的精确满足非常敏感。边界条件实现中的任何错误，例如法向应力和切向应力的施加方式，都会直接影响 sigma_xx 的预测值。尤其需要注意的是，斜边界和复杂边界条件的处理方式。
控制方程 : 控制方程（例如，平衡方程和本构方程）是 PINN 的核心。方程推导或代码实现中的任何错误都会导致不准确的结果，特别是对于 sigma_xx，它在平衡方程中扮演着重要角色。
网络结构和训练 : 不合适的网络结构（例如，层数太少或神经元数量不足）或训练参数设置（例如，学习率过高或过低、训练迭代次数不足）都可能导致网络无法有效学习到正确的物理规律，进而影响 sigma_xx 的预测精度。
数据预处理和后处理 : 数据预处理，例如归一化，以及后处理，例如反归一化，也会影响预测精度。确保这些步骤的正确性至关重要。

解决方案

针对上述问题，可以尝试以下解决方案：

仔细检查边界条件实现 : 确保边界条件的施加方式与 FEM 模型完全一致。对于斜边界，需要将应力分解为法向应力和切向应力。建议使用符号计算库 (如 sympy) 推导并验证边界条件的公式。

import sympy

# 定义符号变量
x, y, u, v, E, nu = sympy.symbols('x y u v E nu')

# 定义位移场
u = u(x, y)
v = v(x, y)

# 计算应变
epsilon_xx = sympy.diff(u, x)
epsilon_yy = sympy.diff(v, y)
epsilon_xy = (sympy.diff(u, y) + sympy.diff(v, x)) / 2

# 计算应力
sigma_xx = E / (1 - nu**2) * (epsilon_xx + nu * epsilon_yy)
sigma_yy = E / (1 - nu**2) * (epsilon_yy + nu * epsilon_xx)
sigma_xy = E / (2 * (1 + nu)) * epsilon_xy

# 在边界上应用边界条件 (示例：x = 0, sigma_xx = 0)
bc = sigma_xx.subs(x, 0)
print(bc)

步骤：

使用sympy定义符号变量和位移场。
计算应变和应力张量。
使用subs()方法代入边界条件进行简化，并检查推导结果。

验证控制方程 : 使用符号计算库 (如 sympy) 推导并验证控制方程的正确性，确保代码实现与推导结果一致。检查平面应力或平面应变假设是否正确应用。

调整网络结构和训练参数 : 尝试更深的网络或增加每层神经元数量，以提高网络的表达能力。使用合适的学习率调度器，并监测损失函数的收敛情况。增加训练数据量，尤其是在应力梯度较大的区域。

# 调整网络结构
class Net(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(Net, self).__init__()
        self.hidden1 = nn.Linear(2, 128) # 增加神经元数量
        self.hidden2 = nn.Linear(128, 256)
        self.hidden3 = nn.Linear(256, 256) # 增加一层
        self.hidden4 = nn.Linear(256, 128)  
        self.output = nn.Linear(128, 2)

# 使用 Adam 优化器和学习率调度器
optimizer = optim.Adam(net.parameters(), lr=1e-3)
scheduler = ReduceLROnPlateau(optimizer, 'min', patience=500, factor=0.8) # 使用 ReduceLROnPlateau