剑指Offer-Swift 14-I：剪绳子（动态规划与贪心算法）

2024-01-02 21:18:30

导言

动态规划和贪心算法是计算机科学中两大经典算法范式，广泛应用于解决各种优化问题。本文将深入探究一道经典的剑指Offer题目——14-I：剪绳子，并利用动态规划和贪心算法两种方式求解，展现这两种算法的精妙之处。

问题

给定一条长度为n的绳子，可以把绳子剪成若干段，每段的长度至少为1。求剪绳子后所有子段长度的乘积的最大值。

动态规划解决方案

动态规划是一种自底向上的求解策略，将大问题分解为较小的子问题，依次求解并保存结果。对于剪绳子问题，我们可以定义状态dp[i]，表示长度为i的绳子剪断后子段长度乘积的最大值。状态转移方程如下：

dp[i] = max(dp[j] * dp[i - j])，其中1 <= j < i

该方程表示长度为i的绳子可以剪成长度为j和i-j的两段，子段长度乘积最大值为dp[j] * dp[i - j]，从中取最大值即为dp[i]。

代码实现（Swift）：

func maxProductAfterCuttingRope(_ n: Int) -> Int {
    if n <= 1 {
        return 0
    }
    
    var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)
    dp[2] = 1
    
    for i in 3...n {
        for j in 1..<i {
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] * dp[i - j])
        }
    }
    
    return dp[n]
}

贪心算法解决方案

贪心算法是一种自顶向下的求解策略，每次做出当前看来最优的选择，从而逐步逼近最优解。对于剪绳子问题，我们可以采用贪心算法，每次都尽可能剪出长度为3的子段，因为3 * 3 > 2 * 2。

代码实现（Swift）：

func maxProductAfterCuttingRope(_ n: Int) -> Int {
    if n <= 1 {
        return 0
    }
    
    var result = 1
    while n > 4 {
        result *= 3
        n -= 3
    }
    
    result *= n
    return result
}