解析素数筛法：从朴素到线性，探寻质数奥秘

2023-12-01 13:50:45

探索质数的世界，素数筛法是必不可少的工具。它高效且巧妙地识别质数，为数学和计算机科学奠定了基础。在这篇文章中，我们将深入探讨三种素数筛法：朴素筛法、埃氏筛法和线性筛法，揭开它们的工作原理和各自的优缺点。

朴素筛法

朴素筛法是最直接的素数筛法。它通过逐一检查每个数字是否可以被较小的数整除来识别质数。如果数字不能被任何较小的数整除，则它就是质数。

def is_prime(n):
  """朴素筛法检查数字是否为质数。"""
  if n <= 1:
    return False
  for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
    if n % i == 0:
      return False
  return True

优点：

理解简单，易于实现。
适用于小数据集。

缺点：

随着数据集变大，效率降低。
无法有效处理较大的数字。

埃氏筛法

埃氏筛法是朴素筛法的改进版本。它通过逐一标记非质数来识别质数。具体来说，它从2开始，标记所有2的倍数，然后从3开始，标记所有3的倍数，以此类推。

def sieve_of_eratosthenes(n):
  """埃氏筛法生成指定范围内的质数列表。"""
  primes = [True] * (n + 1)
  primes[0] = primes[1] = False
  for i in range(2, int(n**0.5) + 1):
    if primes[i]:
      for j in range(i * i, n + 1, i):
        primes[j] = False
  return [i for i, is_prime in enumerate(primes) if is_prime]

优点：

比朴素筛法更有效。
适用于中等大小的数据集。

缺点：

对于非常大的数据集，效率仍然较低。
标记过程可能需要大量内存。

线性筛法

线性筛法是最有效的素数筛法。它利用了质数的分布特性。具体来说，每个合数都至少有一个小于等于其平方根的质因子。利用这一特性，线性筛法可以逐一确定质数，并用它们来标记合数。

def linear_sieve(n):
  """线性筛法生成指定范围内的质数列表。"""
  primes = []
  isPrime = [True] * (n + 1)
  for i in range(2, n + 1):
    if isPrime[i]:
      primes.append(i)
      for j in range(i * i, n + 1, i):
        isPrime[j] = False
  return primes