解码算法谜题：破解 LeetCode 416 分割等和子集的奥秘

2023-11-07 22:04:24

征服算法谜题：破解 LeetCode 416 分割等和子集

对于算法爱好者来说，LeetCode 是一块肥沃的训练场，提供了无数引人入胜的谜题来磨练我们的技能。在这个算法之旅中，我们将深入探讨 LeetCode 416 分割等和子集，这是一道考验我们解决问题和算法设计能力的烧脑谜题。

踏上算法探险之旅

LeetCode 416 分割等和子集的谜面如下：给定一个仅包含正整数的非空数组 nums，判断是否存在一种分割方式，可以将该数组划分为两个子集，使得两个子集元素的和相等。乍一看，这道谜题可能让人望而生畏，但通过缜密的分析和巧妙的算法，我们可以征服它。

破解谜题的利器

要解决这个算法谜题，我们需要借助三把利器：

分而治之： 将大问题分解成更小的子问题，逐个击破。
动态规划： 利用子问题的重叠性，逐步构建解决方案。
贪心算法： 基于当前最优选择做出决策，逐渐逼近最佳解。

算法实现：分而治之

分而治之算法将数组递归地划分为两个子集，直到达到基本情况。具体步骤如下：

1. 如果数组为空，则不存在分割方案，返回 False。
2. 如果数组只有一个元素，则无法分割，返回 False。
3. 如果数组有两个元素，且元素相等，则可以分割，返回 True。
4. 将数组划分为两个子集，分别是数组的前半部分和后半部分。
5. 递归地判断两个子集是否可以分割。
6. 如果两个子集都可以分割，则返回 True，否则返回 False。

算法实现：动态规划

动态规划算法使用一个二维数组 dp 来记录子问题的解。dp[i][j] 表示前 i 个元素是否可以分割成和为 j 的子集。具体步骤如下：

1. 初始化 dp 数组，dp[0][0] 为 True，其余元素为 False。
2. 对于每个元素 nums[i]：
    - 对于每个可能的和 j：
        - 如果 nums[i] <= j：
            - dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i]] || dp[i - 1][j]
        - 否则：
            - dp[i][j] = dp[i - 1][j]
3. 返回 dp[len(nums) - 1][sum(nums) // 2]，表示整个数组是否可以分割成和为 sum(nums) // 2 的子集。

算法实现：贪心算法

贪心算法按照元素从小到大的顺序对数组排序，然后交替地将元素分配给两个子集，直到两个子集的和相等或无法分配更多元素。具体步骤如下：

1. 将数组 nums 排序。
2. 初始化两个子集的和为 0。
3. 对于每个元素 nums[i]：
    - 将 nums[i] 分配给第一个子集。
    - 如果第一个子集的和大于第二个子集的和，则将 nums[i] 重新分配给第二个子集。
4. 如果两个子集的和相等，则返回 True，否则返回 False。

代码示例

# 分而治之
def canPartition_divide_and_conquer(nums):
    if not nums:
        return False
    if len(nums) == 1:
        return False
    if len(nums) == 2:
        return nums[0] == nums[1]
    mid = len(nums) // 2
    return canPartition_divide_and_conquer(nums[:mid]) and canPartition_divide_and_conquer(nums[mid:])

# 动态规划
def canPartition_dp(nums):
    n = len(nums)
    total_sum = sum(nums)
    if total_sum % 2 != 0:
        return False
    target_sum = total_sum // 2
    dp = [[False] * (target_sum + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(n + 1):
        dp[i][0] = True
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, target_sum + 1):
            if nums[i - 1] <= j:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i - 1]] or dp[i - 1][j]
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
    return dp[n][target_sum]

# 贪心算法
def canPartition_greedy(nums):
    nums.sort()
    n = len(nums)
    sum1 = 0
    sum2 = 0
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        if sum1 > sum2:
            sum2 += nums[i]
        else:
            sum1 += nums[i]
    return sum1 == sum2