用Python征服动态规划——解题攻略《leetcode-礼物的最大价值》

2024-02-19 03:04:30

在游戏中，你遇到了一个有趣的挑战：在一个 m*n 的棋盘上，每个格子都放着诱人的礼物，你需要找到一条从左上角到右下角的路径，使得你收集到的礼物价值最大化。规则很简单，你只能向下或向右移动，不能走回头路。

面对这样的问题，我们该如何找到最佳路径呢？其实，我们可以利用动态规划的思想来解决它。动态规划的核心在于将一个复杂的问题分解成一系列更小的子问题，然后逐个解决这些子问题，最终得到整个问题的答案。

具体来说，我们可以创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从左上角到达格子 (i, j) 的路径上能够获得的最大礼物价值。

首先，我们需要初始化 dp 数组。由于起点是左上角的格子 (0, 0)，所以 dp[0][0] 就等于棋盘上左上角格子的礼物价值。

接下来，我们开始逐行逐列地计算 dp 数组的值。对于每个格子 (i, j)，它只能从上方格子 (i-1, j) 或左方格子 (i, j-1) 到达。因此，dp[i][j] 的值就等于 max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) 加上格子 (i, j) 本身的礼物价值。

当我们计算完整个 dp 数组后，dp[m-1][n-1] 就是从左上角到达右下角的路径上能够获得的最大礼物价值，也就是我们最终想要的结果。

为了更好地理解这个算法，我们来看一个具体的例子。假设棋盘如下：

1 3 1
1 5 1
4 2 1

那么，dp 数组的计算过程如下：

dp[0][0] = 1
dp[0][1] = 1 + 3 = 4
dp[0][2] = 4 + 1 = 5
dp[1][0] = 1 + 1 = 2
dp[1][1] = max(4, 2) + 5 = 9
dp[1][2] = max(5, 9) + 1 = 10
dp[2][0] = 2 + 4 = 6
dp[2][1] = max(9, 6) + 2 = 11
dp[2][2] = max(10, 11) + 1 = 12

最终，dp[2][2] 的值为 12，这就是从左上角到达右下角的路径上能够获得的最大礼物价值。

下面，我们用 Python 代码来实现这个算法：

def max_gift_value(grid):
  """
  计算从左上角到右下角的路径上的最大礼物价值。

  Args:
    grid: 一个 m*n 的棋盘，每个格子都放有一个礼物。

  Returns:
    从左上角到右下角的路径上的最大礼物价值。
  """

  m, n = len(grid), len(grid[0])
  dp = [[0] * n for _ in range(m)]

  dp[0][0] = grid[0][0]

  for i in range(1, m):
    dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]

  for j in range(1, n):
    dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

  for i in range(1, m):
    for j in range(1, n):
      dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

  return dp[m-1][n-1]

# 测试用例
grid = [[1, 3, 1], [1, 5, 1], [4, 2, 1]]
max_value = max_gift_value(grid)
print(max_value)  # 输出: 12