巧用数学公式，轻松搞定二叉搜索树数量

引言

在计算机科学领域，二叉搜索树 (BST) 是一种重要的数据结构，因其高效的搜索和插入操作而闻名。给定一个整数 n，一个由 n 个唯一节点组成的 BST 的数量被称为卡特兰数。

卡特兰数公式

求解二叉搜索树数量问题的关键在于卡特兰数公式：

C(n) = (2n)! / (n+1)! * n!

其中，C(n) 表示由 n 个节点组成的二叉搜索树的数量。

递归方法

基于卡特兰数公式，我们可以使用递归算法计算二叉搜索树的数量：

function catalan(n) {
  if (n == 0) {
    return 1;
  }
  result = 0;
  for (i = 0 to n-1) {
    result += catalan(i) * catalan(n-i-1);
  }
  return result;
}

动态规划方法

为了优化递归算法，我们可以使用动态规划技术，通过创建和维护一个表来存储中间结果，避免重复计算：

function catalan(n) {
  catalan_table = new int[n+1];
  catalan_table[0] = 1;
  for (i = 1 to n) {
    for (j = 0 to i-1) {
      catalan_table[i] += catalan_table[j] * catalan_table[i-j-1];
    }
  }
  return catalan_table[n];
}

代码示例

# Python

import math

def catalan(n):
  return math.factorial(2*n) // (math.factorial(n+1) * math.factorial(n))

# Java

import java.math.BigInteger;

public class Catalan {
  public static BigInteger catalan(int n) {
    BigInteger numerator = factorial(2*n);
    BigInteger denominator = factorial(n+1).multiply(factorial(n));
    return numerator.divide(denominator);
  }

  private static BigInteger factorial(int n) {
    BigInteger result = BigInteger.ONE;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      result = result.multiply(BigInteger.valueOf(i));
    }
    return result;
  }
}

结语

通过理解卡特兰数公式和应用递归或动态规划方法，我们可以高效地计算不同二叉搜索树的数量。这些算法对于理解二叉搜索树的数学特性和解决相关算法问题至关重要。