最大路径之争：二叉树中的路径和较量

2023-09-18 01:04:41

前言

在浩瀚的算法海洋中，二叉树宛如一株繁茂的思维之树，枝繁叶茂，脉络清晰。而其中隐藏着一条条蜿蜒曲折的路径，每条路径都承载着一个数字序列，代表着遍历该路径所累加的权重值。在这片迷宫般的树冠中，我们踏上了探寻最大路径和的征程，力求在数字迷雾中拨开云层，找到通往权重之巅的最佳捷径。

动态规划的舞步

动态规划，算法界的一支奇兵，它以拆分问题的策略，将浩瀚的计算分解为可控的小块，从基础步步为营，最终汇聚成完整的解决方案。在最大路径和的求解中，我们同样可以借力动态规划的舞步。

1. 状态定义

问题核心在于计算以某一节点为根节点的子树中最大路径和，因此我们可以定义状态f(root)，表示以root节点为根节点的子树中最大路径和。

2. 状态转移

如何求得f(root)？关键在于考虑不同情况下的路径延伸方式。我们有如下状态转移方程：

f(root) = max(f(left), f(right), max(0, f(left)) + max(0, f(right)) + root->val)

其中：

f(left)：root左子树的最大路径和
f(right)：root右子树的最大路径和
root->val：root节点的权重值

这个方程考虑了三种情况：

以root为根节点的路径和最大（max(f(left), f(right))）
以root为根节点的单边路径和最大（max(0, f(left)) + max(0, f(right)) + root->val）
以root为根节点的路径和为负（max(0, f(left))和max(0, f(right))均为0，则整个路径和为root->val）

分治与递归的协奏

动态规划的舞步离不开分治与递归的协奏。我们将二叉树不断划分为一个个子问题，通过递归的方式计算每个子问题的最大路径和，最终将这些子问题的解汇总，得到整棵树的最大路径和。

代码的旋律

def max_path_sum(root):
    if not root:
        return 0

    left_max = max_path_sum(root.left)
    right_max = max_path_sum(root.right)

    max_path = max(root.val, left_max + root.val, right_max + root.val)
    max_path = max(max_path, left_max + right_max + root.val)

    return max_path