多重视角下[`14. 最长公共前缀`](https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-prefix/) 的分治、横向扫描与优化

2023-11-04 19:22:57

引言

14. 最长公共前缀 是一个经典的字符串处理问题，其目标是找到一组字符串中最长公共的前缀。在本文中，我们将探讨两种不同的算法来解决这个问题：分治法和横向扫描法。我们将分析每种方法的复杂度和适用场景，并提供代码实现。

分治法

分治法是一种经典的算法范式，它将一个大问题分解成较小的子问题，然后递归地求解这些子问题，最终合并子问题的解以得到原问题的解。在解决 14. 最长公共前缀 问题时，我们可以将字符串数组划分为两半，然后分别求解左右两半的最长公共前缀。最后，将左右两半的最长公共前缀合并，即可得到原数组的最长公共前缀。

def longest_common_prefix_divide_and_conquer(strs):
    """
    使用分治法求解最长公共前缀。

    Args:
        strs: 一组字符串。

    Returns:
        最长公共前缀。
    """

    # 如果字符串数组为空或只有一个元素，则直接返回空字符串。
    if not strs or len(strs) == 1:
        return ""

    # 将字符串数组划分为两半。
    mid = len(strs) // 2
    left_strs = strs[:mid]
    right_strs = strs[mid:]

    # 分别求解左右两半的最长公共前缀。
    left_lcp = longest_common_prefix_divide_and_conquer(left_strs)
    right_lcp = longest_common_prefix_divide_and_conquer(right_strs)

    # 将左右两半的最长公共前缀合并。
    lcp = ""
    for i in range(min(len(left_lcp), len(right_lcp))):
        if left_lcp[i] != right_lcp[i]:
            break
        lcp += left_lcp[i]

    return lcp

分治法的复杂度为 O(n log n)，其中 n 是字符串数组的长度。这主要是因为分治法需要递归地求解子问题，而每次递归调用都会将问题规模减半。因此，分治法的总时间复杂度为 O(n log n)。

分治法适用于较长的字符串数组。当字符串数组较长时，分治法可以有效地将问题分解成较小的子问题，从而降低算法的复杂度。

横向扫描法

横向扫描法是一种简单而有效的算法，它通过逐个比较字符串数组中的每个元素来找到最长公共前缀。在横向扫描法中，我们将字符串数组中的第一个元素作为最长公共前缀进行比较。然后，我们将字符串数组中的其他元素与最长公共前缀进行比较，并逐个缩短最长公共前缀，直到找到一个最长公共前缀，使得该前缀在字符串数组中的所有元素中都出现。

def longest_common_prefix_horizontal_scanning(strs):
    """
    使用横向扫描法求解最长公共前缀。

    Args:
        strs: 一组字符串。

    Returns:
        最长公共前缀。
    """

    # 如果字符串数组为空或只有一个元素，则直接返回空字符串。
    if not strs or len(strs) == 1:
        return ""

    # 将字符串数组中的第一个元素作为最长公共前缀进行比较。
    lcp = strs[0]

    # 将字符串数组中的其他元素与最长公共前缀进行比较。
    for i in range(1, len(strs)):
        while lcp and strs[i].startswith(lcp) is False:
            lcp = lcp[:-1]

    return lcp

横向扫描法的复杂度为 O(nm)，其中 n 是字符串数组的长度，m 是字符串数组中字符串的最大长度。这主要是因为横向扫描法需要逐个比较字符串数组中的每个元素，而每个元素的比较需要 O(m) 的时间。因此，横向扫描法的总时间复杂度为 O(nm)。

横向扫描法适用于较短的字符串数组。当字符串数组较短时，横向扫描法可以快速地找到最长公共前缀。

优化

分治法和横向扫描法都可以通过优化来提高效率。一种常见的优化方法是使用二分搜索来比较字符串数组中的元素。二分搜索可以将比较的次数从 O(m) 减少到 O(log m)，从而降低算法的复杂度。

def longest_common_prefix_binary_search(strs):
    """
    使用二分搜索优化后的横向扫描法求解最长公共前缀。

    Args:
        strs: 一组字符串。

    Returns:
        最长公共前缀。
    """

    # 如果字符串数组为空或只有一个元素，则直接返回空字符串。
    if not strs or len(strs) == 1:
        return ""

    # 将字符串数组中的第一个元素作为最长公共前缀进行比较。
    lcp = strs[0]

    # 将字符串数组中的其他元素与最长公共前缀进行比较。
    for i in range(1, len(strs)):
        # 使用二分搜索来比较字符串数组中的元素。
        lcp = lcp[:binary_search(strs[i], lcp)]

    return lcp


def binary_search(str1, str2):
    """
    使用二分搜索来比较两个字符串。

    Args:
        str1: 第一个字符串。
        str2: 第二个字符串。

    Returns:
        两个字符串的最长公共前缀的长度。
    """

    # 如果两个字符串相等，则直接返回它们的长度。
    if str1 == str2:
        return len(str1)

    # 初始化二分搜索的左右边界。
    left = 0
    right = len(str1) - 1

    # 进行二分搜索。
    while left <= right:
        # 计算中间位置。
        mid = (left + right) // 2

        # 比较中间位置的字符。
        if str1[mid] == str2[mid]:
            # 如果中间位置的字符相等，则继续搜索右侧。
            left = mid + 1
        else:
            # 如果中间位置的字符不相等，则继续搜索左侧。
            right = mid - 1

    # 返回最长公共前缀的长度。
    return left