LeetCode 470: 用 Rand7() 实现 Rand10() 的艺术与科学

引言

在浩瀚的编程世界中，概率可谓是算法中的点点星光，时而如流星般转瞬即逝，时而又如北极星般指引迷津。而 LeetCode 470 题正是这片星空中的一颗璀璨之星，它巧妙地运用概率论的原理，带领我们踏上用 Rand7() 实现 Rand10() 的奇幻之旅。

理解问题

Rand7() 函数是计算机中一个常见的函数，它可以生成一个 1 到 7 之间的随机整数。而 Rand10() 函数，则是我们要实现的目标，它需要生成一个 1 到 10 之间的随机整数。

头脑风暴

解决这个问题有多种方法，但我们今天要探索一种优雅而巧妙的方法。它基于一个简单的概率论原理：如果我们连续调用 Rand7() 函数两次，那么我们可以生成 1 到 49 之间的任意整数。

详细设计

我们的算法将遵循以下步骤：

1. 生成两个随机数： 调用 Rand7() 函数两次，得到两个随机数 x 和 y。
2. 计算联合概率： 根据这两个随机数，我们可以计算出生成 1 到 10 之间任意整数的联合概率。
3. 拒绝采样： 如果联合概率小于 1/10，则拒绝此次生成，并返回步骤 1。
4. 返回结果： 如果联合概率大于或等于 1/10，则将这两个随机数组合成一个 1 到 10 之间的整数，并将其返回。

数学原理

联合概率的计算公式如下：

P(x, y) = P(x) * P(y | x)

其中：

• P(x) 是第一个随机数 x 的概率（1/7）
• P(y | x) 是给定 x 的情况下第二个随机数 y 的概率（1/7）

代码实现

import random

def rand10():
    while True:
        x = random.randint(1, 7)
        y = random.randint(1, 7)
        if (x - 1) * 7 + y - 1 < 10:
            return (x - 1) * 7 + y

效率分析

该算法的平均时间复杂度为 O(1)，因为每个步骤都是常数时间操作。然而，在极少数情况下，它可能需要重复多次才能生成一个有效的结果，因此最坏情况下的时间复杂度为 O(∞)。

结语

LeetCode 470 题是一个绝妙的算法难题，它巧妙地将概率论和随机数生成结合在一起。通过采用拒绝采样技术，我们能够用 Rand7() 函数实现 Rand10() 函数，充分体现了算法设计中的艺术与科学之美。