算法题解 LeetCode 204 统计所有小于非负整数 n 的质数数量

2023-12-13 21:34:47

题目概述

LeetCode 第 204 题，题目如下：

给定一个非负整数 n，请统计一下从 0 到 n-1 中有多少个质数。

示例 1：

输入：n = 10
输出：4
解释：小于 10 的质数有 2、3、5、7，一共有 4 个。

示例 2：

输入：n = 0
输出：0

示例 3：

输入：n = 1
输出：0

解题思路

暴力枚举

暴力枚举，按题意从 0 到 n-1 依次遍历每个数字，并判断每个数字是否为质数。如果一个数字是质数，计数器加 1。最后返回计数器。

判断一个数字是否为质数，可以采用以下步骤：

从 2 开始，依次尝试将数字除以从 2 到数字的平方根（包括平方根）之间的所有整数。
如果能被除尽，则数字不是质数；否则，数字是质数。

def count_primes(n):
  """
  统计小于非负整数 n 的质数的数量。

  Args:
    n: 非负整数。

  Returns:
    小于 n 的质数的数量。
  """

  # 特殊情况
  if n <= 1:
    return 0

  # 初始化计数器
  count = 0

  # 从 2 开始遍历
  for i in range(2, n):
    # 逐个数字判断是否是质数
    is_prime = True
    for j in range(2, int(i ** 0.5) + 1):
      if i % j == 0:
        is_prime = False
        break

    # 如果是质数，计数器加 1
    if is_prime:
      count += 1

  return count

埃拉托斯特尼筛法

埃拉托斯特尼筛法是一种更有效的方法来统计小于 n 的质数的数量。它通过筛选出所有小于 n 的非质数来实现。

具体的步骤如下：

将一个列表初始化为 True，列表的长度为 n。
从 2 开始，将列表中所有数字的倍数（除了数字本身）标记为 False。
遍历列表，并将所有仍然标记为 True 的数字计数。

def count_primes(n):
  """
  统计小于非负整数 n 的质数的数量。

  Args:
    n: 非负整数。

  Returns:
    小于 n 的质数的数量。
  """

  # 特殊情况
  if n <= 1:
    return 0

  # 初始化列表
  is_prime = [True] * n

  # 从 2 开始筛除非质数
  for i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):
    if is_prime[i]:
      for j in range(i * i, n, i):
        is_prime[j] = False

  # 计数质数
  count = 0
  for i in range(2, n):
    if is_prime[i]:
      count += 1

  return count