巧用二进制处理均等概率问题

在算法解题过程中，我们经常会遇到需要生成均等概率随机数的问题。虽然我们可以使用 random.random() 函数生成一个 [0, 1) 区间的浮点数，但这并不能满足均等概率的要求。例如，生成一个 [1, 10] 范围内的整数，使用 random.random() 函数的直接方法并不能保证每个整数被选中的概率相同。

本文将介绍一种巧妙的技巧，利用二进制处理，我们可以高效地解决均等概率问题。这种方法特别适用于求解二进制随机数转换问题，例如将一个 [0, 7] 范围内的随机数转换成一个 [0, 10] 范围内的随机数。

二进制随机数转换

让我们从一个经典问题开始：如何使用一个生成 [0, 7] 范围内的随机数的函数 rand7() 来生成一个 [0, 10] 范围内的随机数。

最直接的方法是生成两个 [0, 7] 范围内的随机数，然后将它们组合起来形成一个 [0, 10] 范围内的数字。具体步骤如下：

while True:
    num1 = rand7()
    num2 = rand7()
    result = (num1 * 8) + num2
    if result < 11:
        return result

但是，这种方法的效率并不高，因为它可能会重复生成随机数。为了优化效率，我们可以使用二进制移位操作。

二进制移位操作符 << 可以将一个数字向左移动指定的位数。这相当于将该数字乘以 2 的指定次方。例如，5 << 2 等于 5 * 2^2 = 20。

我们可以利用这个性质来优化我们的算法：

while True:
    num1 = rand7()
    result = (num1 << 3) + (rand7() & 7)
    if result < 11:
        return result

在这个算法中，我们使用 num1 << 3 将 num1 向左移动 3 位，相当于将它乘以 8。然后，我们使用 rand7() & 7 来获取一个 [0, 7] 范围内的数字。最后，我们将其与 num1 << 3 相加，得到一个 [0, 10] 范围内的数字。

这种方法比直接生成两个随机数的方法要高效得多，因为它只需生成两个随机数即可得到结果。

其他应用

二进制处理还可以用于解决其他均等概率问题。例如，我们可以使用它来：

• 生成一个 [0, n-1] 范围内的随机数，其中 n 是一个偶数
• 生成一个 [0, n-1] 范围内的随机数，其中 n 是一个奇数
• 从一个集合中随机选择一个元素

这些算法都可以在 O(1) 的时间复杂度内完成。

总结

二进制处理是一种巧妙的技巧，可用于高效地解决均等概率问题。它特别适用于二进制随机数转换问题。通过利用二进制移位操作，我们可以生成多个随机数，从而避免了重复生成的问题，从而提高了算法的效率。

希望本文能帮助您了解和使用这种技巧来解决算法问题。