用编程实例和分步方法，轻松理解「动态规划」
2023-11-25 03:14:54
如今，随着前端技术的发展，算法面试已经成为前端工程师们必须面对的一道门槛。传统的排序算法面试已经不稀奇，取而代之的是一些更具挑战性的题目，其中，「动态规划」就是一道经常出现的面试题。
什么是动态规划？
动态规划，顾名思义，是一种利用子问题来解决问题的算法策略。它将复杂的问题分解成多个较小的子问题，然后逐一解决这些子问题。解决子问题的过程中，动态规划会存储这些子问题的解，以便在以后的计算中重用，从而减少计算量和时间复杂度。
例如，我们要解决一个求最大公共子序列的问题。这个子序列可以是给定字符串的任意排列，且这个排列中的字符串顺序与原字符串中的顺序相同。为了解决这个问题，我们可以将字符串分解成多个子序列，然后逐步求解这些子序列的最大公共子序列。在求解子序列的最大公共子序列时，我们可以存储这些子序列的解，以便在以后的计算中重用。这样，就可以大大减少计算量和时间复杂度。
动态规划的应用场景
动态规划算法广泛应用于计算机科学和运筹学中，常见的应用场景包括：
- 最长公共子序列
- 最短路径
- 背包问题
- 旅行商问题
- 文本对齐
- 图像识别
- 机器学习
动态规划的步骤
动态规划算法一般分为以下几个步骤：
- 定义子问题 ：将复杂的问题分解成多个较小的子问题。
- 构建动态规划表 ：创建一个表格，用来存储子问题的解。
- 填充动态规划表 ：从第一个子问题开始，逐一求解子问题，并将其解存储在动态规划表中。
- 利用动态规划表 ：在求解主问题时，可以利用动态规划表中存储的子问题的解来减少计算量和时间复杂度。
动态规划的实例
为了更好地理解动态规划，让我们来看一个求最大公共子序列的实例。
假设我们有两个字符串 S = "ABCD" 和 T = "ACEDB"。我们要求这两个字符串的最大公共子序列。
我们可以将求最大公共子序列的问题分解成以下几个子问题：
- 求字符串 S 的前 i 个字符和字符串 T 的前 j 个字符的最大公共子序列。
- 求字符串 S 的前 i 个字符和字符串 T 的前 j-1 个字符的最大公共子序列。
- 求字符串 S 的前 i-1 个字符和字符串 T 的前 j 个字符的最大公共子序列。
我们可以使用以下公式来计算子问题的解：
dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] + 1}
其中，dp[i][j] 表示字符串 S 的前 i 个字符和字符串 T 的前 j 个字符的最大公共子序列的长度。
我们从字符串 S 的第一个字符和字符串 T 的第一个字符开始，逐一求解子问题，并将子问题的解存储在动态规划表中。最终，我们就可以得到字符串 S 和字符串 T 的最大公共子序列。
动态规划的总结
动态规划是一种用于解决最优化问题的算法策略。它通过把问题分解成更小的子问题，然后逐步求解这些子问题来解决问题。动态规划经常用于解决如最长公共子序列、最短路径、背包问题和旅行商问题等问题。动态规划算法一般分为以下几个步骤：定义子问题、构建动态规划表、填充动态规划表和利用动态规划表。
