一文读懂多项式回归：从原理到实践

人工智能

2023-09-14 15:37:40

多项式回归：揭秘非线性关系的利器

在数据分析领域，我们经常遇到需要预测复杂非线性关系的情况。多项式回归，作为线性回归的一种扩展，为我们提供了解决方案。它通过引入多项式特征，增强了模型对非线性数据的拟合能力。

适用场景

多项式回归在以下场景中表现出色：

拟合非线性数据关系： 当数据呈现出明显的非线性趋势，如指数增长、抛物线等，多项式回归可以有效捕捉这些变化。
特征工程： 多项式回归可以引入新的多项式特征，提升数据的表达能力，帮助发现数据中的隐藏模式和特征之间的交互关系。
预测任务： 多项式回归广泛应用于各种预测任务，如销售预测、经济预测、客户行为预测等。

原理揭秘

多项式回归与线性回归的原理相似，通过最小化误差来确定最佳拟合函数。区别在于，多项式回归引入了多项式项，使拟合函数成为一个多项式函数。

假设有 n 个数据点，每个点由自变量 x 和因变量 y 组成。我们的目标是找到一个多项式函数 f(x)，使其以最小误差拟合这些数据点。

多项式回归模型表示为：

y = \beta_0 + \beta_1 x + \beta_2 x^2 + ... + \beta_m x^m + \epsilon

其中：

\beta_0, \beta_1, ..., \beta_m 为模型参数，通过优化算法确定。
m 为多项式的最高次幂。
\epsilon 为误差项。

Python 代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 生成数据
x = np.linspace(-1, 1, 100)
y = 1 + 0.5 * x + 0.2 * x**2 + np.random.normal(0, 0.1, 100)

# 添加多项式特征
poly = PolynomialFeatures(degree=2)
X = poly.fit_transform(x.reshape(-1, 1))

# 训练模型
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

# 预测
y_pred = model.predict(X)

# 绘制结果
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, y_pred, color='red')
plt.show()