剖析Manacher算法：寻找字符串中最长回文子串的利器

2023-09-04 06:04:28

用 Manacher 算法找出字符串中的最长回文子串

回文串，即从左到右和从右到左读起来都相同的字符串，在密码学、生物信息学和文本处理等领域都有着广泛的应用。在字符串处理中，找出字符串中的最长回文子串是一项经典且重要的任务。Manacher 算法是一种高效且巧妙的算法，专门用于解决这一问题。

算法原理：窥探 Manacher 算法的魔力

Manacher 算法的工作原理是将原字符串转换成一个预处理字符串。预处理字符串通过在原字符串每个字符之间插入特殊字符（例如“#”）来构建。这样，回文子串就转换为预处理字符串中以特殊字符为中心的回文子串。

算法的核心思想在于利用动态规划，维护一个数组 P。数组 P 中的每个元素 P[i] 表示以预处理字符串中第 i 个字符为中心的回文子串的长度。P[i] 的计算依赖于其相邻位置的值。通过预处理和动态规划的巧妙结合，Manacher 算法能够高效地找到预处理字符串中最长的回文子串，从而也找到了原字符串中最长的回文子串。

算法步骤：揭秘 Manacher 算法的内幕

预处理字符串： 在原字符串的两端添加特殊字符，并在原字符串每个字符之间插入特殊字符。
初始化： 初始化数组 P，其中 P[i] 设置为 0，表示以第 i 个字符为中心的回文子串的长度。
中心扩展： 从中心向左右两边扩展，计算 P[i]。
更新最大回文子串： 维护一个变量 maxCenter 和 maxRight，记录当前找到的回文子串的中心位置和右边界。
处理边界情况： 当中心扩展超出预处理字符串的边界时，进行边界处理。
输出结果： 最终，maxRight 指向原字符串中最长的回文子串的右边界。

代码实现：探索 Manacher 算法的 Python 实现

def manacher(s):
    # 预处理字符串
    preprocessed_s = "#" + "#".join(s) + "#"

    # 初始化
    P = [0] * len(preprocessed_s)

    # 中心扩展
    center, right = 0, 0
    for i in range(1, len(preprocessed_s)):
        # 检查 i 是否在之前计算的回文串内
        mirror = 2 * center - i
        if i < right:
            P[i] = min(right - i, P[mirror])

        # 中心扩展
        while i - P[i] - 1 >= 0 and i + P[i] + 1 < len(preprocessed_s) and preprocessed_s[i - P[i] - 1] == preprocessed_s[i + P[i] + 1]:
            P[i] += 1

        # 更新最大回文串
        if i + P[i] > right:
            center, right = i, i + P[i]

    # 寻找最长的回文子串
    max_length = 0
    center = 0
    for i in range(1, len(preprocessed_s)):
        if P[i] > max_length:
            max_length = P[i]
            center = i

    # 返回最长回文子串
    return s[(center - max_length) // 2:(center + max_length) // 2]