剖析半平面上核的求法：POJ 3130/3335 题解

2023-11-22 22:44:45

半平面上核：求解多边形核的两种经典方法

在计算机图形学和几何算法中，半平面上核 是一个至关重要的概念。它通常指一个多边形中的一点、一条线或一个区域，满足多边形的边界都在其一侧。求解半平面上核在计算几何中有着广泛的应用，例如计算多边形面积、判断点是否在多边形内部等。本文将通过深入分析两种经典的算法——半平面的交 和凸包，详细介绍求解半平面上核的方法。

半平面的交

想象一下一个半平面，它就像一条直线的一侧。对于一个由 n 条直线定义的 n 边形，我们可以将每个直线表示为一个半平面的边界。半平面的交 就是这些半平面的公共交集区域。

求解半平面的交的算法步骤如下：

初始化： 将所有半平面的边界线按极角（从 x 轴逆时针旋转的角度）排序。
扫描： 从极角最小的直线开始，依次扫描所有直线。
更新交集： 对于每条直线，如果它与当前交集相交，则更新交集为两者的交集。
判断是否有核： 如果最终交集为空，则多边形没有核；否则，交集就是多边形的核。

凸包

凸包是一个多边形的所有顶点的最小凸多边形。对于一个由 n 个点定义的 n 边形，它的凸包是一个由 m 个点组成的 m 边形，其中 m ≤ n。

求解凸包的算法步骤如下：

排序： 将所有点按极角排序。
扫描： 从极角最小的点开始，依次扫描所有点。
判断凸包： 对于每条直线，如果它与当前凸包相交，则更新凸包为两者的交集。
判断是否有核： 如果最终凸包为空，则多边形没有核；否则，凸包就是多边形的核。

POJ 3130/3335 题解

让我们以两个经典的算法题——POJ 3130 和 POJ 3335——为例，来实际了解这些算法的应用。

POJ 3130 题意： 给定 N 个点，逆时针给出，求这个多边形是否有核。

POJ 3335 题意： 给定一个 N 个点的旋转记分牌，求这个多边形是否有核。

对于这两个问题，由于点是逆时针给出的，我们可以使用凸包算法来求解。

代码示例

以下是用 C++ 实现的凸包算法代码示例：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

struct Point {
    int x, y;
};

int cross(const Point& a, const Point& b, const Point& c) {
    return (b.x - a.x) * (c.y - a.y) - (b.y - a.y) * (c.x - a.x);
}

vector<Point> convex_hull(vector<Point>& points) {
    sort(points.begin(), points.end(), [](const Point& a, const Point& b) {
        return a.x < b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);
    });

    vector<Point> hull;
    for (const Point& point : points) {
        while (hull.size() >= 2 && cross(hull[hull.size() - 2], hull.back(), point) <= 0) {
            hull.pop_back();
        }
        hull.push_back(point);
    }

    int t = hull.size();
    for (int i = points.size() - 2; i >= 0; i--) {
        while (hull.size() > t && cross(hull[hull.size() - 2], hull.back(), points[i]) <= 0) {
            hull.pop_back();
        }
        hull.push_back(points[i]);
    }

    hull.pop_back();
    return hull;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<Point> points(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> points[i].x >> points[i].y;
    }

    vector<Point> hull = convex_hull(points);
    if (hull.empty()) {
        cout << "No" << endl;
    } else {
        cout << "Yes" << endl;
    }

    return 0;
}