解题有妙招：20天刷题计划之77. 组合

## 序言

算法学习的道路上，刷题是一项必不可少的修炼。在20天的刷题计划中，我们将共同领略算法的魅力，逐个击破经典算法难题。今天，我们聚焦于77. 组合这一道看似复杂实则蕴含巧妙解法的题目。

## 问题剖析

77. 组合问题要求我们找出所有包含k个不同整数且这些整数都在[1,n]范围内的组合。乍一看，这似乎是一个排列组合问题，但实际上，组合问题的关键在于其元素的无序性。

## 解题利器：回溯算法

回溯算法是一种经典的算法设计范式，特别适用于求解组合问题。它的基本思想是：

1. **逐步探索：** 从给定条件出发，逐层深入地搜索解空间。
2. **合法性检查：** 在每一步中，判断当前路径是否合法，如果合法，则继续探索；否则，回溯到上一步。
3. **边界条件：** 当探索到解空间的尽头时，判断当前路径是否满足题目要求，如果是，则输出解；否则，回溯到上一步。

## 回溯算法代码实现

def combine(n, k):
# 初始化结果列表和回溯路径
result, path = [], []

def backtrack(start):
    # 满足组合条件，输出解
    if len(path) == k:
        result.append(path.copy())
        return

    # 遍历[start, n]范围内的元素
    for i in range(start, n + 1):
        # 将当前元素加入回溯路径
        path.append(i)
        # 递归探索后续元素
        backtrack(i + 1)
        # 回溯，移除当前元素
        path.pop()

# 从1开始回溯探索
backtrack(1)

return result

## 动态规划算法

动态规划算法也是解决组合问题的有力武器。它的基本思想是：

1. **子问题分解：** 将原问题分解成一系列更小的子问题。
2. **子问题重叠：** 同一子问题在不同情况下可能会被重复计算。
3. **备忘录：** 使用备忘录记录子问题的解，避免重复计算。

## 动态规划算法代码实现

def combine_dp(n, k):
# 初始化备忘录
dp = [[[] for _ in range(k + 1)] for _ in range(n + 1)]

# 填充备忘录
for i in range(1, n + 1):
    dp[i][1] = [[i]]
    for j in range(2, k + 1):
        for prev in dp[i - 1][j - 1]:
            dp[i][j].append(prev + [i])

# 返回结果
return dp[n][k]

## 总结

77. 组合问题是算法学习中不可忽视的一道难题。通过回溯算法或动态规划算法，我们可以高效地求解该问题。掌握这些算法技巧，将为我们后续的刷题之路奠定坚实的基础。

最后，让我们一起携手，在20天的刷题计划中，不断提升算法能力，成就算法大师之路！