从递归到动态规划：深入解析全排列问题（含重复元素）

2024-02-11 03:42:38

在编程的世界中，算法是解决问题的核心支柱，而排列问题则是算法领域中一道经典且常见的难题。对于包含重复元素的全排列问题，其求解难度更上一层楼。本文将带你踏上一段探索之旅，从递归的思维框架出发，逐步揭秘如何运用动态规划这一强有力的技术，巧妙地化解这一难题。

递归：从起点到穷途

面对全排列问题，递归算法不失为一种直观且简洁的解法。其基本思路在于：对于给定的字符串，我们逐个选择字符，将它与后续字符进行交换，从而生成新的排列。如此这般，递归地遍历所有可能的组合，便能穷尽所有排列。

然而，递归算法的一个致命缺陷在于其效率低下。对于包含大量重复元素的字符串，递归算法会陷入无休止的循环中，导致时间复杂度呈指数级上升。

动态规划：化繁为简的艺术

为了克服递归算法的效率瓶颈，动态规划应运而生。这一技术通过将问题分解成一系列子问题，并逐一求解，从而避免了重复计算。对于全排列问题，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示字符串中前i个字符的排列，且第j个字符位于末尾。

初始化时，dp[i][i]为字符串中第i个字符。随后，我们逐一考虑前i-1个字符的排列，如果第i个字符不与之前已排列的字符重复，则将其添加到排列末尾，形成新的排列。

代码实现：一步步构建解空间

有了清晰的思路，我们不妨将其转化为代码，以期更深入地理解动态规划的奥妙。以下是Python代码的实现：

def permute_unique(s):
  n = len(s)
  dp = [["" for _ in range(n)] for _ in range(n)]
  for i in range(n):
    dp[i][i] = s[i]
  for i in range(1, n):
    for j in range(i):
      for k in range(i):
        if s[i] != s[k] or k == j:
          dp[i][j] += dp[i-1][k] + s[i]
  return dp[n-1]