征服寻路难题：AcWing 850题解，探索稀疏图最短路

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2022-12-29 14:40:22

探索狄克斯特拉算法的迷宫：踏上 AcWing 850 的寻路之旅

前言

踏入算法竞赛的浩瀚世界，我们经常会遇到寻路难题。这些难题就像迷宫一样，看似复杂，却暗藏着规律。今天，我们将深入 AcWing 850 这道经典题目，领略狄克斯特拉算法的强大魅力，破解稀疏图的最短路径奥秘。

狄克斯特拉算法：稀疏图的指明灯

当我们面临稀疏图时，传统的全源最短路径算法显得力不从心。这时，狄克斯特拉算法横空出世，它就像一盏指明灯，指引我们走出迷雾，找到最优路径。

狄克斯特拉算法的核心在于贪婪选择：它总是在当前已访问的顶点中，选择距离起点最近的顶点作为下一步探索的对象。通过这种层层递进的方式，它一步步构建出最短路径树，最终得到所有顶点到起点的最短距离。

算法步骤：循序渐进的求解之路

初始化： 为所有顶点赋予初始距离，起点为 0，其余顶点为无穷大。
寻找最近顶点： 在未访问过的顶点中，找出距离最小的顶点，标记为已访问。
更新距离： 以该顶点为出发点，更新所有相邻顶点的距离。
重复步骤 2 和 3： 直到所有顶点都被访问。
结果： 最终，从起点到每个顶点的最短距离便一目了然。

代码实现：让算法鲜活起来

为了让狄克斯特拉算法不再纸上谈兵，我们用代码赋予它生命。以下是用 C++ 实现的狄克斯特拉算法：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 100000;
const int INF = 1e9;

int n, m;
vector<pair<int, int>> edges[MAXN]; // 邻接表
int dist[MAXN]; // 从起点到每个顶点的最短距离

void dijkstra(int start) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dist[i] = INF; // 初始化距离为无穷大
    }
    dist[start] = 0; // 起点到起点的距离为0

    priority_queue<pair<int, int>> pq; // 优先队列，存储待访问顶点和距离
    pq.push(make_pair(0, start)); // 将起点加入优先队列

    while (!pq.empty()) {
        int u = pq.top().second; // 取出距离最小的顶点
        pq.pop(); // 删除该顶点

        for (auto edge : edges[u]) { // 遍历该顶点的相邻顶点
            int v = edge.first; // 相邻顶点
            int w = edge.second; // 边权

            if (dist[v] > dist[u] + w) { // 如果经过该边到达相邻顶点的距离更短
                dist[v] = dist[u] + w; // 更新相邻顶点的距离
                pq.push(make_pair(-dist[v], v)); // 将相邻顶点加入优先队列
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m; // 输入顶点和边数

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w; // 输入边
        cin >> u >> v >> w;
        edges[u].push_back(make_pair(v, w)); // 添加边
    }

    dijkstra(1); // 从1号顶点出发计算最短路径

    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 输出结果
        cout << dist[i] << " ";
    }

    return 0;
}