重温线性代数

线性代数是一门重要的数学分支，它在许多领域都有着广泛的应用。为了帮助大家更好地理解和掌握线性代数，本文将对线性代数的基础知识进行回顾。

向量

向量通常用一个小写字母加箭头来表示，例如\vec{a}或a。向量有两个重要的属性：方向和长度。向量的方向由向量首尾两点确定的直线决定，向量的长度是向量首尾两点之间的距离。

没有绝对的开始位置。向量可以从任何一点开始，只要它的方向和长度保持不变。

向量的长度记为||\vec{a}||。单位向量是指长度为1的向量，单位向量通常用小写字母加顶上的“^”来表示，例如\hat{a}。

标量

标量是只有一个数值的量，例如温度、质量和时间等。标量可以用一个实数来表示。

内积

内积是两个向量的运算，其结果是一个标量。内积通常用符号“·”表示，例如\vec{a}\cdot\vec{b}。

内积的计算公式为：

其中，\theta是\vec{a}和\vec{b}之间的夹角。

外积

外积是两个向量的运算，其结果是一个向量。外积通常用符号“×”表示，例如\vec{a}\times\vec{b}。

外积的计算公式为：

其中，\theta是\vec{a}和\vec{b}之间的夹角，\hat{n}是\vec{a}和\vec{b}所确定的平面的单位法向量。

叉积

叉积是外积的另一种形式，叉积通常用符号“∧”表示，例如\vec{a}\wedge\vec{b}。

叉积的计算公式为：

其中，\hat{i}、\hat{j}和\hat{k}是笛卡尔坐标系的三个单位向量，a_1、a_2和a_3是向量\vec{a}的三个分量，b_1、b_2和b_3是向量\vec{b}的三个分量。

线性变换

线性变换是指一个保持向量的加法和数乘运算的映射。线性变换通常用一个矩阵来表示。

矩阵是一个由数字排列成的矩形数组。矩阵可以用来表示线性变换。例如，如果一个线性变换将向量\vec{a}映射到向量\vec{b}，那么这个线性变换可以用矩阵A来表示，其中A的第i行第j列的元素是a_{ij}。

行列式

行列式是一个与矩阵相关联的数字。行列式的计算方法取决于矩阵的阶数。

行列式在许多领域都有着广泛的应用，例如求解线性方程组、计算面积和体积等。