称砝码：求解砝码摆放策略，完美称量各种重量

后端

2024-02-06 10:49:29

问题

现有n种砝码，重量互不相等，分别为 m1,m2,m3…mn ；每种砝码对应的数量为 x1,x2,x3…xn 。现有一个目标重量 W ，如何利用这些砝码进行组合，使得总重量恰好等于 W ？

基本策略

称砝码问题是一种典型的组合优化问题。要解决这个问题，首先需要明确基本策略。

分治法： 将目标重量 W 分解为若干个较小的重量，然后利用砝码进行组合，使得每个较小重量都可以被准确称量。最后，将这些较小重量相加，即可得到总重量 W 。
贪心法： 每次选择重量最接近目标重量 W 的砝码进行组合，直到总重量等于或大于 W 。这种方法简单易行，但可能不是最优解。
动态规划： 将称量过程分解为若干个子问题，然后利用动态规划的方法逐个求解，最终得到最优解。这种方法复杂度较高，但可以保证找到最优解。

解题步骤

下面以动态规划的方法来求解称砝码问题。

定义子问题： 定义 f(i,w) 为使用前 i 种砝码，称量重量为 w 的最小砝码数量。
计算子问题：
- 如果 w = 0，则 f(i,w) = 0。
- 如果 w > 0，则 f(i,w) = min{f(i-1,w), f(i-1,w-m[i]) + x[i]}。
  - f(i-1,w) 表示不使用第 i 种砝码，用前 i-1 种砝码称量重量为 w 的最小砝码数量。
  - f(i-1,w-m[i]) + x[i] 表示使用第 i 种砝码，用前 i-1 种砝码称量重量为 w-m[i] 的最小砝码数量，加上第 i 种砝码的数量 x[i]。
计算最终结果： 最终结果为 f(n,W)。

实例

假设有如下砝码：

m = [1, 2, 5, 10, 20]
x = [1, 2, 1, 1, 1]

目标重量 W 为 27。

f(0,27) = ∞
f(1,27) = min{f(0,27), f(0,27-1) + 1} = ∞
f(2,27) = min{f(1,27), f(1,27-2) + 2} = min{∞, f(1,25) + 2} = min{∞, 4} = 4
f(3,27) = min{f(2,27), f(2,27-5) + 1} = min{4, f(2,22) + 1} = min{4, 4} = 4
f(4,27) = min{f(3,27), f(3,27-10) + 1} = min{4, f(3,17) + 1} = min{4, 5} = 4
f(5,27) = min{f(4,27), f(4,27-20) + 1} = min{4, f(4,7) + 1} = min{4, 5} = 4