巧用动态规划，LeetCode 300. 最长递增子序列逐个击破

前言

在计算机科学中，动态规划是一种用于解决优化问题的算法。它将问题分解成一系列子问题，然后依次解决这些子问题，最后将这些子问题的解组合起来得到最终的解。动态规划的优势在于它可以避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划解决LeetCode 300. 最长递增子序列问题

LeetCode 300. 最长递增子序列问题要求找到一个给定整数数组中最长的递增子序列，并返回这个子序列的长度。我们可以使用动态规划来解决这个问题。

首先，我们将问题分解成一系列子问题。对于给定的数组，我们可以定义一个状态dp[i]，其中dp[i]表示以数组中第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。

然后，我们可以使用递推的方式来求解这些子问题。对于给定的数组，我们可以从第一个元素开始，依次计算每个元素结尾的最长递增子序列的长度。对于数组中第i个元素，我们可以考虑以下两种情况：

1. 如果数组中第i个元素大于等于数组中第i-1个元素，那么以数组中第i个元素结尾的最长递增子序列的长度为dp[i-1]+1。
2. 如果数组中第i个元素小于数组中第i-1个元素，那么以数组中第i个元素结尾的最长递增子序列的长度为1。

我们重复以上步骤，直到计算出数组中最后一个元素结尾的最长递增子序列的长度。这个长度就是整个数组中最长递增子序列的长度。

示例代码

def longest_increasing_subsequence(nums):
  """
  返回给定整数数组中最长的递增子序列的长度。

  参数：
    nums: 给定的整数数组。

  返回：
    最长递增子序列的长度。
  """

  # 定义状态dp[i]，其中dp[i]表示以数组中第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。
  dp = [1] * len(nums)

  # 从第一个元素开始，依次计算每个元素结尾的最长递增子序列的长度。
  for i in range(1, len(nums)):
    for j in range(i):
      if nums[i] >= nums[j]:
        dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

  # 返回整个数组中最长递增子序列的长度。
  return max(dp)


# 测试代码
nums = [10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60, 80]
print(longest_increasing_subsequence(nums))  # 输出：6

结语

动态规划是一种解决优化问题的常用算法，它可以将问题分解成一系列子问题，然后依次解决这些子问题，最后将这些子问题的解组合起来得到最终的解。动态规划的优势在于它可以避免重复计算，从而提高算法的效率。LeetCode 300. 最长递增子序列问题就是一个可以利用动态规划解决的优化问题。通过这篇文章，您应该对如何使用动态规划解决此问题有了更深入的理解。