LeetCode 322：零钱兑换：用最少硬币凑齐金额

见解分享

2023-09-26 11:38:19

零钱兑换：动态规划算法的应用

前言

日常生活中，找零是不可避免的，对于商家而言，使用最少的硬币找零尤为重要。LeetCode 322 题“零钱兑换”正是这样一个问题，要求我们找出凑齐总金额所需的最小硬币数量。本文将深入剖析此题，探索其背后的动态规划算法。

问题分解

动态规划 是一种用于解决复杂问题的强大算法，通过将问题分解成较小的子问题，并利用子问题的解决方案逐层向上构建最终解。对于零钱兑换问题，我们可以定义一个状态 dp[i]，表示凑齐金额 i 所需的最小硬币数量。

状态转移方程

状态转移方程 是动态规划的核心，它了状态之间的依赖关系。对于零钱兑换问题，有两种凑齐金额 i 的方法：

不使用最大面额硬币： 此时，我们需要使用 dp[i - coins[0]] 枚硬币，其中 coins[0] 是最大面额硬币。
使用最大面额硬币： 此时，我们需要使用 1 枚最大面额硬币和 dp[i - coins[0]] 枚硬币。

由此，我们得到状态转移方程：

dp[i] = min(dp[i - coins[0]] + 1, 1 + dp[i - coins[1]])

其中，coins[0] 和 coins[1] 分别为最大的两个硬币面额。

算法实现

基于状态转移方程，我们可以使用动态规划算法逐步求解问题：

初始化 dp 数组，其中 dp[0] = 0。
对于每个金额 i 从 1 到 amount：
- 如果 dp[i] 已经计算过，则跳过。
- 否则，对于每个硬币面额 coins[j]，计算 dp[i - coins[j]] + 1 和 1 + dp[i - coins[j]]，取最小值作为 dp[i]。
返回 dp[amount]。

def coinChange(coins, amount):
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    dp[0] = 0

    for i in range(1, amount + 1):
        for coin in coins:
            if i - coin >= 0:
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)

    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1