Python详解LeetCode 221. Maximal Square 动态规划算法应用

2023-11-03 13:09:27

发现二进制矩阵中的最大正方形：动态规划的强大应用

在计算机科学的广阔领域中，动态规划 (DP) 算法因其解决复杂问题的非凡能力而备受推崇。LeetCode 221. 最大正方形问题就是这样一个问题，它要求我们找出二进制矩阵中面积最大的正方形子矩阵。本博客将深入探讨使用动态规划解决此问题的过程，同时阐明其背后的原理和概念。

什么是二进制矩阵中的最大正方形？

在二进制矩阵中，每个元素要么为 0（表示该位置不存在正方形），要么为 1（表示该位置包含正方形的一部分）。最大正方形子矩阵是指矩阵中包含的最大正方形区域。

动态规划方法

动态规划是一种自底向上的算法，它将一个复杂问题分解成较小的子问题，并使用较小子问题的解决方案来逐步构建总解决方案。

分解子问题

LeetCode 221 问题可以分解成两个子问题：

如何找出二进制矩阵中的最大正方形子矩阵？
如何计算二进制矩阵中最大正方形子矩阵的面积？

子问题 1：找出最大正方形子矩阵

为了找到最大正方形子矩阵，我们可以创建一个与原矩阵大小相同的辅助矩阵（称为 DP 矩阵）。DP 矩阵的元素表示每个子问题（即每个子矩阵）的最大正方形边长。

算法步骤：

初始化 DP 矩阵的第一行和第一列为原矩阵的第一行和第一列。
对于 DP 矩阵的每个其他元素，执行以下操作：
- 如果原矩阵中相应元素为 0，则 DP 矩阵中相应元素的值也为 0。
- 否则，DP 矩阵中相应元素的值为其上方、左侧和左上方相邻元素最小值加 1。
DP 矩阵中最大元素的值就是最大正方形边长。

子问题 2：计算最大正方形面积

最大正方形面积等于最大正方形边长的平方。

Python 代码实现

def maximal_square(matrix):
    """
    Finds the maximal square submatrix in a binary matrix.

    Args:
        matrix (list): A binary matrix represented as a list of lists of 0s and 1s.

    Returns:
        int: The area of the maximal square submatrix.
    """

    # Create a DP matrix.
    dp = [[0 for _ in range(len(matrix[0]))] for _ in range(len(matrix))]

    # Initialize the first row and first column of the DP matrix.
    for i in range(len(matrix)):
        dp[i][0] = matrix[i][0]
    for j in range(len(matrix[0])):
        dp[0][j] = matrix[0][j]

    # Fill in the rest of the DP matrix.
    for i in range(1, len(matrix)):
        for j in range(1, len(matrix[0])):
            if matrix[i][j] == 0:
                dp[i][j] = 0
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1

    # Find the maximal value in the DP matrix.
    max_value = 0
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(len(matrix[0])):
            max_value = max(max_value, dp[i][j])

    # Return the square of the maximal value.
    return max_value ** 2