开平方根不是玄学，一招让你告别估算烦恼！

2023-11-09 02:39:09

今天我们要解决的是算法题每日一练的第102题，题目是这样的：给定一个非负整数x，计算并返回x的算术平方根。由于返回类型是整数，结果只保留整数部分，小数部分将被舍去。

对于很多初学者来说，求平方根可能是一件令人头疼的事情，尤其是当数字很大时，估算起来会非常麻烦。但其实，有一种巧妙的方法可以帮助我们快速精准地求出平方根，而这正是这道题目要教授给我们的。

1. 二分法寻找区间

为了理解这种方法，让我们先来回顾一下平方根的定义。平方根是指一个数字乘以自身所得的结果，例如，4的平方根是2，因为2乘以2等于4。

根据这个定义，我们可以将平方根的计算问题转化为寻找一个数字，使得这个数字乘以自身后等于给定的数字x。我们可以通过二分法来寻找这个数字。

二分法是一种通过反复将搜索区间对半分，来缩小目标范围的算法。在这个问题中，我们可以将搜索区间设置为[0, x]。

首先，我们计算出区间的中点m，并将m乘以自身，如果m^2等于x，那么我们就找到了平方根。如果m^2小于x，那么平方根一定大于m，所以我们将搜索区间调整为[m, x]。如果m^2大于x，那么平方根一定小于m，所以我们将搜索区间调整为[0, m]。

重复这个过程，我们将搜索区间不断缩小，直到找到平方根或达到某个精度要求为止。

2. 牛顿法优化计算

二分法虽然可以帮助我们找到平方根，但它并不是最有效的方法。为了进一步提高计算效率，我们可以使用牛顿法。

牛顿法是一种通过迭代逼近的方式来求解函数根的算法。在平方根计算问题中，我们可以将函数定义为f(x) = x^2 - x。

根据牛顿法的公式，我们可以得到以下迭代公式：

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

其中，x_n是当前的估计值，x_{n+1}是下一个估计值，f(x_n)是函数值，f'(x_n)是函数导数。

对于平方根计算问题，函数f(x) = x^2 - x，函数导数f'(x) = 2x - 1。将这些代入迭代公式，我们可以得到以下计算公式：

x_{n+1} = (x_n + x / x_n) / 2

重复这个过程，我们可以不断逼近平方根。

3. 代码实现

现在，让我们用代码来实现平方根的计算。以下是以Python语言编写的代码：

def sqrt(x):
  """
  Calculates the square root of a non-negative integer x.

  Args:
    x: The non-negative integer whose square root is to be calculated.

  Returns:
    The integer square root of x.
  """

  # Check if x is non-negative.
  if x < 0:
    raise ValueError("x must be a non-negative integer.")

  # Initialize the search range.
  low = 0
  high = x

  # Perform binary search to find the square root.
  while low <= high:
    mid = (low + high) // 2
    if mid * mid == x:
      return mid
    elif mid * mid < x:
      low = mid + 1
    else:
      high = mid - 1

  # If the square root is not an integer, return the lower bound.
  return low


# Test the square root function.
print(sqrt(4))  # 2
print(sqrt(9))  # 3
print(sqrt(16))  # 4