记忆化递归如何改成动态规划？你能分清差别吗？

记忆化递归和动态规划的定义
记忆化递归是在递归函数中使用一个表来存储已经计算过的结果，以便在以后需要时可以重用。这可以避免重复计算相同的子问题，从而提高算法的效率。

动态规划是一种自底向上的算法，它通过将问题分解成更小的子问题来解决。然后，它从最小的子问题开始，逐步地解决更大的子问题，最后得到整个问题的解决方案。

记忆化递归和动态规划的区别

• 记忆化递归使用递归来解决问题，而动态规划使用自底向上的方法。
• 记忆化递归在递归过程中存储已经计算过的结果，而动态规划在解决每个子问题之前先检查是否已经计算过。
• 记忆化递归通常使用一个表来存储已经计算过的结果，而动态规划通常使用一个数组来存储每个子问题的解决方案。

如何将记忆化递归改写为动态规划

将记忆化递归改写为动态规划通常涉及以下几个步骤：

1. 确定问题的子问题。
2. 创建一个数组来存储每个子问题的解决方案。
3. 从最小的子问题开始，逐步地解决更大的子问题。
4. 在解决每个子问题之前，先检查是否已经计算过。如果已经计算过，则直接使用存储的结果；如果没有计算过，则计算结果并将其存储在数组中。

举个例子

让我们以斐波那契数列为例来演示如何将记忆化递归改写为动态规划。

斐波那契数列是一个数列，其中每个数字都是前两个数字之和。例如，斐波那契数列的前几个数字是：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……。

记忆化递归斐波那契数列的代码如下：

def fib_recursive(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return n
    else:
        return fib_recursive(n-1) + fib_recursive(n-2)

动态规划斐波那契数列的代码如下：

def fib_dp(n):
    fib_array = [0, 1]
    while len(fib_array) < n + 1:
        next_number = fib_array[-1] + fib_array[-2]
        fib_array.append(next_number)
    return fib_array[n]

如您所见，动态规划的代码比记忆化递归的代码更简洁高效。这是因为动态规划避免了重复计算相同的子问题。

结论

记忆化递归和动态规划都是计算机科学中常用的优化算法，它们都可以减少函数或算法的运行时间和空间复杂度。但它们之间存在着一些关键差异。记忆化递归使用递归来解决问题，而动态规划使用自底向上的方法。记忆化递归在递归过程中存储已经计算过的结果，而动态规划在解决每个子问题之前先检查是否已经计算过。通常情况下，动态规划的效率比记忆化递归更高。