优化树形问题的秘密武器：树形动态规划

闲谈

2023-12-30 02:34:03

树形动态规划总结详讲

树形动态规划简介

树形动态规划是一种用于解决树形结构问题的动态规划。树形结构是一种常见的数据结构，广泛应用于计算机科学的各个领域。树形动态规划的核心思想是将问题分解成子问题，并逐步求解这些子问题。

树形动态规划设计

状态设计： 首先，我们需要定义树形动态规划的状态。状态一般由两个部分组成：节点编号和阶段。节点编号代表以该节点为根的子树，阶段代表树的深度。
阶段划分： 接下来，我们需要将问题分解成多个阶段。一般情况下，我们会以节点从深到浅（子树从小到大）的顺序作为DP的“阶段”。
转移方程： 最后，我们需要设计转移方程。转移方程用于计算当前状态的值。转移方程通常由当前状态和相邻状态的值推导而来。

树形动态规划应用

树形动态规划广泛应用于计算机科学的各个领域，包括：

最小生成树
最长路径问题
旅行商问题
0-1 背包问题
树形背包问题

树形动态规划总结

树形动态规划是一种重要的动态规划算法，用于解决树形结构的问题。树形动态规划的设计过程主要包括状态设计、阶段划分和转移方程设计三个步骤。树形动态规划广泛应用于计算机科学的各个领域。

树形动态规划典型例题

现在，让我们来看一个树形动态规划的典型例题：

给定一棵树，树上的每个节点都有一个权值。我们希望找到一条从树的根节点到某个叶节点的路径，使得路径上的权值和最大。

分析：

这个问题可以转化为一个树形动态规划问题。我们可以定义状态DP[i][j]表示从根节点到节点i的第j深度的路径的最大权值。那么，转移方程为：

DP[i][j] = max(DP[i][j-1], DP[i][j-2] + W[i])

其中，W[i]是节点i的权值。

代码实现：

int DP[N][N];
int W[N];

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> W[i];
    }
    DP[1][1] = W[1];
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        DP[i][1] = DP[i-1][1] + W[i];
    }
    for (int j = 2; j <= n; j++) {
        for (int i = j; i <= n; i++) {
            DP[i][j] = max(DP[i][j-1], DP[i-1][j-2] + W[i]);
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = max(ans, DP[i][n]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}