从根节点开始的LeetCode 279：完美平方数的动态规划解决方法（Python）

优化 LeetCode 279：完全平方数问题的动态规划方法

简介

LeetCode 279：完全平方数要求我们找出将正整数表示为完全平方数之和所需的最小平方数个数。传统的自顶向下的动态规划方法虽然有效，但可能会因超时而失败。本文介绍了一种高效的自底向上的动态规划方法，它可以克服这一挑战，实现更快的求解。

自底向上的动态规划方法

与自顶向下的方法不同，自底向上的方法从根节点 0 开始，逐层向下填充动态规划数组。对于每个节点 i，我们计算从根节点 0 到节点 i 的所有可能路径的最小平方数之和，并将其存储在 dp[i] 中。

具体来说，我们遍历所有可能的平方数 j²，如果 i - j² 是非负数，则我们检查 dp[i - j²] + 1 和 dp[i]，并选择较小的值作为 dp[i]。

Python 实现

def numSquares(n):
    # Initialize the dp array
    dp = [float('inf') for _ in range(n + 1)]
    dp[0] = 0

    # Iterate through the dp array
    for i in range(1, n + 1):
        # Iterate through all possible perfect squares
        for j in range(1, int(i**0.5) + 1):
            # Calculate the minimum number of perfect squares for i - j²
            min_squares = dp[i - j**2] + 1
            # Update dp[i] if the minimum number of perfect squares is smaller
            dp[i] = min(dp[i], min_squares)

    # Return the minimum number of perfect squares for n
    return dp[n]

效率优化

自底向上的方法比自顶向下的方法更有效率，因为它从根节点开始逐层填充动态规划数组。这种方法只需要计算从根节点到每个节点的最小平方数之和，避免了重复计算，从而克服了超时问题。

结论

本文介绍了一种高效的自底向上的动态规划方法来解决 LeetCode 279：完全平方数问题。这种方法避免了自顶向下方法中的超时问题，并通过逐层填充动态规划数组来提供更快的求解。对于需要在动态规划问题中提高效率的开发者来说，这种方法是一个有价值的工具。

常见问题解答

1. 为什么自底向上的方法比自顶向下的方法更有效率？

因为自底向上的方法从根节点开始逐层填充动态规划数组，只需要计算从根节点到每个节点的最小平方数之和，避免了重复计算。

2. 自底向上的方法可以解决哪些类型的动态规划问题？

自底向上的方法可以解决任何可以表示为子问题树形结构的动态规划问题。

3. 自底向上的方法和自顶向下的方法在实现上有什么区别？

自底向上的方法从根节点开始逐层填充动态规划数组，而自顶向下的方法从叶子节点开始逐层向上计算。

4. 哪种方法更适合解决LeetCode 279：完全平方数问题？

自底向上的方法更适合解决LeetCode 279：完全平方数问题，因为它避免了超时问题。

5. 自底向上的方法还有哪些其他应用？

自底向上的方法还可以用于解决背包问题、最长公共子序列问题和最长回文子串问题等其他动态规划问题。