动态规划征服 LeetCode：巧解买卖股票最佳时机带手续费

引言：算法之美，动态规划之妙

算法，计算机科学皇冠上的明珠，以其严谨的逻辑和强大的计算能力，成为解决复杂问题的利器。而动态规划，作为算法家族中的一颗璀璨之星，更是以其独到的视角和强大的优化能力，在众多领域大放异彩。LeetCode，算法爱好者的圣地，汇聚了海量的算法题库，其中买卖股票最佳时机系列问题更是备受推崇，吸引了无数算法爱好者竞折腰。

问题陈述：买卖股票的最佳时机（含手续费）

在现实世界中，股票交易是一项复杂的投资活动。投资者需要把握时机，在股票价格波动的起伏中寻找获利机会。然而，在实际交易中，除了股票价格的涨跌，还需要考虑交易手续费对收益的影响。LeetCode 中的买卖股票最佳时机（含手续费）问题正是模拟了这一场景，要求我们计算在给定股票价格序列和交易手续费的情况下，如何安排买入和卖出股票以实现最大收益。

动态规划：化繁为简，逐层递进

动态规划是一种强大的算法技术，它将复杂问题分解成一系列子问题，并通过逐步求解子问题，最终解决原问题。在买卖股票最佳时机（含手续费）问题中，我们可以将问题分解为以下子问题：

• 在第 i 天，处于不持有股票的状态，最大收益是多少？
• 在第 i 天，处于持有股票的状态，最大收益是多少？

状态转移方程：巧用递推，步步为营

根据上述子问题，我们可以建立状态转移方程：

• 不持有股票状态： dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i] - fee)
• 持有股票状态： dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])

其中，dp[i][0]和dp[i][1]分别表示在第i天处于不持有股票和持有股票状态下的最大收益。prices[i]为第i天的股票价格，fee为交易手续费。

代码实现：算法之美，代码之魂

public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
    int n = prices.length;
    int[][] dp = new int[n][2];
    dp[0][0] = 0;
    dp[0][1] = -prices[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i] - fee);
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
    }
    return dp[n - 1][0];
}

示例解析：庖丁解牛，深入浅出

假设股票价格序列为[1, 3, 2, 8, 4, 9]，交易手续费为2。

• 第 1 天： 不持有股票，最大收益为0；持有股票，最大收益为-1（买入股票花费1元）。
• 第 2 天： 不持有股票，最大收益为0（继续不持有）；持有股票，最大收益为-3（买入股票花费3元）。
• 第 3 天： 不持有股票，最大收益为3（卖出股票，赚取3-2元利润）；持有股票，最大收益为-3（继续持有）。
• 第 4 天： 不持有股票，最大收益为6（买入股票，花费8-2元）；持有股票，最大收益为-7（买入股票花费9-2元）。
• 第 5 天： 不持有股票，最大收益为6（继续不持有）；持有股票，最大收益为-9（买入股票花费11-2元）。
• 第 6 天： 不持有股票，最大收益为9（卖出股票，赚取9-2元利润）；持有股票，最大收益为-9（继续持有）。

最终，我们在不持有股票的情况下获得最大收益9元。

总结：算法之钥，思维之匙

动态规划是一种强大的算法技术，它通过将复杂问题分解成一系列子问题，并逐步求解子问题，最终解决原问题。在买卖股票最佳时机（含手续费）问题中，我们可以将问题分解为不持有股票和持有股票两种状态，并建立状态转移方程来求解子问题。通过代码实现，我们可以高效地计算出在给定股票价格序列和交易手续费的情况下，如何安排买入和卖出股票以实现最大收益。