独辟蹊径：刷穿 LeetCode 322，解谜零钱兑换的“艺术”

2023-09-12 15:45:45

在程序员的征战江湖中，算法问题宛如一座座险峻山峰，等待着我们披荆斩棘，步步攀登。而作为算法训练圣地的 LeetCode，其第 322 题——零钱兑换，更是一颗耀眼的明珠，吸引着无数勇士前来挑战。

在这场智力的角逐中，我们需要施展巧思，游刃有余地应对不同面额硬币和目标金额的组合，才能找寻到凑成目标金额的最少硬币数。

思路漫步：从贪心到动态规划

初遇此题，许多初学者往往会陷入贪心的误区。他们试图每次都选择面额最大的硬币，以为这样能够快速凑成目标金额。然而，这样的做法往往会事倍功半，甚至陷入死胡同。

真正的破局之道在于动态规划。我们将问题拆解成更小的子问题，逐步求解，最终拼凑出问题的全局最优解。具体而言，对于每个子问题，我们考虑使用不同面额的硬币来凑成目标金额，并记录下最少硬币数。

算法演绎：步步为营，层层递进

设 dp[i] 为凑成金额 i 所需的最少硬币数，其中 dp[0] = 0。对于目标金额为 i，我们枚举所有面额小于 i 的硬币，并计算使用这些硬币凑成 i 的最少硬币数。如果枚举到一个硬币 j 满足 j <= i 且 dp[i - j] + 1 < dp[i]，则更新 dp[i] = dp[i - j] + 1。

代码画卷：精雕细琢，匠心独运

def coinChange(coins, amount):
    # 初始化动态规划表
    dp = [float('inf')] * (amount + 1)
    dp[0] = 0
    
    # 枚举所有面额的硬币
    for i in range(1, amount + 1):
        # 对于每个目标金额，枚举所有面额的硬币
        for coin in coins:
            # 如果当前硬币面额小于目标金额
            if coin <= i:
                # 更新动态规划表
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
    
    # 返回凑成目标金额的最少硬币数
    return dp[amount] if dp[amount] != float('inf') else -1

实例解析：拨开迷雾，洞悉玄机

假设我们有硬币面额为 [1, 2, 5]，目标金额为 11。

对于目标金额为 1，显然需要 1 枚 1 元硬币，dp[1] = 1。
对于目标金额为 2，可以选择 1 枚 2 元硬币或 2 枚 1 元硬币，dp[2] = min(dp[2 - 2] + 1, dp[2 - 1] + 1) = 1。
对于目标金额为 3，可以选择 1 枚 2 元硬币和 1 枚 1 元硬币，dp[3] = dp[3 - 2] + 1 = 2。
对于目标金额为 4，可以选择 2 枚 2 元硬币或 4 枚 1 元硬币，dp[4] = min(dp[4 - 2] + 1, dp[4 - 1] + 1) = 2。
以此类推，我们不断更新动态规划表，最终得到 dp[11] = 3，表明凑成 11 元的最少硬币数为 3，分别为 1 枚 5 元硬币、1 枚 2 元硬币和 1 枚 1 元硬币。