LeetCode-求和为指定数值的最少完全平方数

算法

方法一：暴力法

暴力法是解决此类问题的最简单方法。它枚举所有可能的完全平方数的组合，并选择和等于给定整数n的最小组合。然而，这种方法的效率非常低，对于大的整数n，它可能会花费很长时间。

方法二：动态规划

动态规划是一种更有效的方法，可以解决此类问题。动态规划的基本思想是将问题分解成若干个子问题，然后以自下而上的方式逐一解决这些子问题。

在求和为指定数值的最少完全平方数问题中，我们可以定义子问题为求和等于给定整数i的完全平方数的最小个数。我们记f(i)为该子问题的最优解。

我们可以使用如下公式递推地计算f(i)：

f(i) = min{f(i - j^2) + 1}, 0 ≤ j ≤ √i

其中，j^2表示完全平方数j的平方。

方法三：贪心算法

贪心算法是一种解决此类问题的另一种有效方法。贪心算法的基本思想是每次选择当前最优的解决方案，然后将问题简化为一个规模较小的子问题。

在求和为指定数值的最少完全平方数问题中，我们可以使用贪心算法如下求解：

1. 初始化result = 0
2. 从大到小依次枚举所有完全平方数j^2
3. 如果n >= j^2，则result++，n -= j^2
4. 重复步骤3，直到n = 0
5. 返回result

时间复杂度

方法一的时间复杂度为O(n^2)，其中n为给定整数。方法二的时间复杂度为O(n√n)，其中n为给定整数。方法三的时间复杂度为O(√n)，其中n为给定整数。

比较

三种方法的比较如下：

方法	时间复杂度	空间复杂度	最佳适用情况
暴力法	O(n^2)	O(1)	n较小时
动态规划	O(n√n)	O(n)	n较大时
贪心算法	O(√n)	O(1)	n较大时

举例

给定整数n = 12，求和等于n的完全平方数的最小个数。

方法一：暴力法

枚举所有可能的完全平方数的组合，并选择和等于给定整数n的最小组合。

1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 12
1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 = 12
1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 = 12
1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 = 12
1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 = 12
1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 = 12
1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 = 12
1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 = 12
1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 = 12
1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 = 12
1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 = 12
1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 + 3^2 = 12

因此，和等于12的完全平方数的最小个数为12。

方法二：动态规划

f(1) = 1
f(2) = 2
f(3) = 3
f(4) = 1
f(5) = 2
f(6) = 3
f(7) = 4
f(8) = 2
f(9) = 1
f(10) = 2
f(11) = 3
f(12) = 3

因此，和等于12的完全平方数的最小个数为3。

方法三：贪心算法

1. result = 0
2. 从大到小依次枚举所有完全平方数j^2
3. 如果12 >= 4^2，则result++，12 -= 4^2
4. 如果12 >= 3^2，则result++，12 -= 3^2
5. 如果12 >= 2^2，则result++，12 -= 2^2
6. 返回result

因此，和等于12的完全平方数的最小个数为3。