线性代数的基石：基变换与坐标变换

人工智能

2024-01-01 21:54:26

基变换与坐标变换：深入理解线性代数

在数学和机器学习等学科中，线性代数扮演着举足轻重的角色。基变换和坐标变换是线性代数的两个基本概念，对于理解向量的表示以及它们在不同坐标系中的转换至关重要。

不同的坐标系

想象一下你在一个陌生的城市里，而你只有两张地图。第一张地图使用熟悉的街道名称和方向，而第二张地图则使用陌生的坐标网格。要找到目的地，你需要理解两种地图之间的转换方式。

同样地，在向量空间中，向量的坐标表示取决于我们选择的基。基是一组线性无关的向量，可以张成整个向量空间。在不同的基下，同一个向量的坐标可能不同。

基变换

基变换就相当于在城市地图之间转换。我们可以使用变换矩阵 P 来表示这种转换，其中 P 的列向量是新基的向量。

变换矩阵 P 必须满足以下条件：

它是一个可逆矩阵。
它的列向量是线性无关的。

代码示例：

考虑二维平面中的基变换，我们有：

import numpy as np

# 标准基
e1 = np.array([1, 0])
e2 = np.array([0, 1])

# 新基
v1 = np.array([3, 1])
v2 = np.array([2, 1])

# 变换矩阵
P = np.array([v1, v2]).T

# 验证变换矩阵的条件
print("P可逆：", np.linalg.det(P) != 0)
print("P的列向量线性无关：", np.linalg.rank(P) == 2)

坐标变换

当我们改变基时，向量的坐标也会随之改变。向量 v 在基 {e1, e2} 下的坐标为 (x, y)，在基 {v1, v2} 下的坐标为 (x', y')，这两个坐标之间的关系可以用以下方程表示：

[x']   [p11 p12] [x]
[y'] = [p21 p22] [y]

其中 P 是基变换矩阵。

正交变换

正交变换是一种特殊的基变换，其变换矩阵是一个正交矩阵。正交矩阵的转置等于其逆矩阵。正交变换保留向量的长度和内积。

特征值和特征向量

特征值和特征向量在基变换中扮演着重要的角色。特征值是线性变换的标量，而特征向量是与这些特征值对应的向量。

特征值和特征向量可以用来对线性变换进行对角化。对角化是将线性变换表示为一个对角矩阵，其中对角线上的元素是变换的特征值。

代码示例：

考虑一个 2x2 矩阵 A：

import numpy as np

A = np.array([[2, 1], [-1, 2]])

# 求特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)

# 验证对角化
print("对角矩阵：")
print(np.diag(eigenvalues))
print("特征向量：")
print(eigenvectors)