思维挑战，数学启发：解俄罗斯套娃问题

俄罗斯套娃问题

俄罗斯套娃问题如下：

给定一组信封，每个信封都有其宽度和高度，以整数对形式(w, h)出现。如果另一个信封的宽度和高度都比这个信封大，则可以将这个信封放入另一个信封中，如同俄罗斯套娃一般。求最多能有多少个信封能组成一组“俄罗斯套娃”信封。

动态规划算法

解决俄罗斯套娃问题的核心在于巧妙运用动态规划算法。动态规划是一种求解最优解问题的经典方法，其基本思想是将问题分解成一系列子问题，再通过子问题的最优解逐步推导出整个问题的最优解。

对于俄罗斯套娃问题，我们可以定义一个状态转移方程：

dp[i] = max(dp[j] + 1) for all j < i and (w[j] < w[i] and h[j] < h[i])

其中，dp[i]表示以信封i为最外层的俄罗斯套娃信封的最多数量，w[i]和h[i]分别表示信封i的宽度和高度。

该方程的含义是：以信封i为最外层的俄罗斯套娃信封的最大数量，等于以信封j为最外层的俄罗斯套娃信封的最大数量加上1，其中j < i且信封j的宽度和高度都比信封i小。

最长递增子序列

俄罗斯套娃问题与最长递增子序列问题密切相关。最长递增子序列问题是指给定一个序列，求出其中最长的递增子序列的长度。

在俄罗斯套娃问题中，如果我们将信封按照宽度从小到大排序，则可以发现，以每个信封为最外层的俄罗斯套娃信封的最大数量，对应于以该信封的宽度为结尾的最长递增子序列的长度。

Python代码

def max_russian_dolls(envelopes):
    """
    计算最多能有多少个信封能组成一组“俄罗斯套娃”信封。

    参数：
    envelopes: 信封的宽度和高度，以整数对形式(w, h)出现。

    返回：
    最多能有多少个信封能组成一组“俄罗斯套娃”信封。
    """

    # 将信封按照宽度从小到大排序
    envelopes.sort(key=lambda envelope: envelope[0])

    # 定义状态转移方程
    dp = [1 for _ in range(len(envelopes))]

    # 计算每个信封的俄罗斯套娃信封的最大数量
    for i in range(1, len(envelopes)):
        for j in range(i):
            if envelopes[j][0] < envelopes[i][0] and envelopes[j][1] < envelopes[i][1]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

    # 返回最长俄罗斯套娃信封的数量
    return max(dp)

应用示例

我们举一个例子来展示俄罗斯套娃问题及其解法。

给定信封的宽度和高度如下：

[(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)]

按照宽度从小到大排序后，信封的顺序变为：

[(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5)]

计算每个信封的俄罗斯套娃信封的最大数量如下：

dp[0] = 1
dp[1] = 2
dp[2] = 3
dp[3] = 4
dp[4] = 5

因此，最多能有多少个信封能组成一组“俄罗斯套娃”信封为5个。

结语

俄罗斯套娃问题是一个有趣的数学难题，它不仅考验了我们的逻辑思维能力，还考察了我们对动态规划算法的理解和应用。希望通过本文的讲解，您能够对俄罗斯套娃问题及其解法有一个更深入的认识。