除自身以外数组的乘积：简洁高效的算法

引言

LeetCode 238：除自身以外数组的乘积是一个中等难度的算法问题，要求我们计算一个数组中每个元素的乘积，但不能包含元素本身。解决这一问题需要一个巧妙的算法，既能满足要求，又具有较高的效率。

思路

该算法的关键思想在于将数组的乘积拆分成两个部分：每个元素左边的乘积和右边的乘积。

具体来说，我们首先初始化两个数组：left 和 right。left 数组存储每个元素左边所有元素的乘积，right 数组存储每个元素右边所有元素的乘积。

然后，我们从左到右遍历数组，计算 left 数组的每个元素。对于第一个元素，其左边没有元素，因此 left[0] = 1。对于其他元素，left[i] 可以通过 left[i - 1] * nums[i - 1] 计算得出，其中 nums[i - 1] 是第 i-1 个元素。

接着，我们从右到左遍历数组，计算 right 数组的每个元素。与 left 数组类似，对于最后一个元素，其右边没有元素，因此 right[n - 1] = 1。对于其他元素，right[i] 可以通过 right[i + 1] * nums[i + 1] 计算得出，其中 nums[i + 1] 是第 i+1 个元素。

最后，我们遍历数组，对于每个元素，其乘积可以简单地通过 left[i] * right[i] 计算得出。

示例

考虑数组 [1, 2, 3, 4]。

1. 计算 left 数组：

   • left[0] = 1
   • left[1] = 1 * 1 = 1
   • left[2] = 1 * 1 * 2 = 2
   • left[3] = 2 * 1 * 2 = 4

2. 计算 right 数组：

   • right[3] = 1
   • right[2] = 1 * 4 = 4
   • right[1] = 4 * 3 = 12
   • right[0] = 12 * 2 = 24

3. 计算乘积数组：

   • result[0] = left[0] * right[0] = 1 * 24 = 24
   • result[1] = left[1] * right[1] = 1 * 12 = 12
   • result[2] = left[2] * right[2] = 2 * 4 = 8
   • result[3] = left[3] * right[3] = 4 * 1 = 4

因此，给定数组 [1, 2, 3, 4]，其乘积数组为 [24, 12, 8, 4]。

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。这是因为我们遍历了数组三次，每次遍历都花费 O(n) 的时间。

该算法的空间复杂度为 O(n)，这是因为我们创建了两个额外的数组 left 和 right，每个数组的大小都为 n。

结论

除自身以外数组的乘积问题是一个经典的算法问题，需要一个巧妙的解决方案。本文中提出的算法简洁高效，易于理解和实现。它使用分治的思想将数组的乘积拆分成两个部分，从而大幅降低了算法的复杂度。