LeetCode 124：二叉树中的最大路径和：探索通往最优解的路径

引言

在二叉树的世界中，路径被定义为从任意节点出发，沿着父节点-子节点连接，达到任意节点的序列。LeetCode 124 挑战我们找到二叉树中最大路径和，它可以从树中的任何节点开始和结束。

动态规划方法

计算二叉树最大路径和的经典方法是动态规划，它是一种自底向上的技术，将问题分解为较小的问题。对于每个节点，我们考虑以下两种情况：

1. 节点本身成为路径末端： 在这种情况下，路径和为该节点的值。
2. 节点成为路径中间的一部分： 在这种情况下，路径和为该节点的值加上从其子节点返回的最大路径和。

我们使用以下状态函数 maxPathSum(node) 来计算以给定节点为根的子树中的最大路径和：

maxPathSum(node):
  if not node:
    return 0
  
  left_max = maxPathSum(node.left)
  right_max = maxPathSum(node.right)
  
  max_path_sum_through_node = node.val + max(0, left_max) + max(0, right_max)
  max_path_sum = max(node.val, max_path_sum_through_node)
  
  return max_path_sum

循序渐进的示例

让我们考虑以下二叉树：

           10
          /  \
         2    15
               /  \
              7    20

使用我们的动态规划方法计算最大路径和：

根节点 10：

• 成为路径末端：路径和为 10。
• 成为路径中间的一部分：最大路径和为 10 + max(0, 2 + 7) + max(0, 15 + 20) = 44。

左子树 2：

• 成为路径末端：路径和为 2。
• 成为路径中间的一部分：最大路径和为 2 + max(0, 7) = 9。

右子树 15：

• 成为路径末端：路径和为 15。
• 成为路径中间的一部分：最大路径和为 15 + max(0, 20) = 35。

右子树 7：

• 成为路径末端：路径和为 7。
• 成为路径中间的一部分：最大路径和为 7。

右子树 20：

• 成为路径末端：路径和为 20。
• 成为路径中间的一部分：最大路径和为 20。

因此，二叉树的最大路径和为 44，从根节点 10 开始，经过左子树的 2 和 7，以及右子树的 15 和 20 。

结论

LeetCode 124 是一道经典的算法问题，可以通过动态规划方法优雅地解决。通过对每个节点计算以其为根的子树中的最大路径和，我们可以找到二叉树中的最大路径和。掌握这一算法不仅有助于解决 LeetCode 难题，还能提高您对树形结构的理解和算法解决问题的技能。