在计算机图形学领域，变换是使图形对象进行移动、旋转、缩放或剪切等操作的过程，以便以所需的方式对其进行定位和操纵。变换可以应用于多种图形元素，包括点、线、多边形和曲面。**

图形学基础——变换

一、二维变换

二维变换可以应用于二维坐标系中的图形元素。二维变换的常见类型包括：

1. 平移：平移是将图形元素沿直线移动一定距离的操作。平移矩阵如下：

[1 0 tx]
[0 1 ty]
[0 0 1]

其中，tx和ty分别是平移距离。

2. 旋转：旋转是将图形元素围绕某个点旋转一定角度的操作。旋转矩阵如下：

[cosθ -sinθ 0]
[sinθ cosθ 0]
[0 0 1]

其中，θ是旋转角度。

3. 缩放：缩放是将图形元素沿某个方向或多个方向放大或缩小一定比例的操作。缩放矩阵如下：

[sx 0 0]
[0 sy 0]
[0 0 1]

其中，sx和sy分别是沿x轴和y轴的缩放比例。

4. 剪切：剪切是将图形元素沿某个方向倾斜一定角度的操作。剪切矩阵如下：

[1 tanα 0]
[0 1 0]
[0 0 1]

其中，α是剪切角度。

二、三维变换

三维变换可以应用于三维坐标系中的图形元素。三维变换的常见类型包括：

1. 平移：平移是将图形元素沿直线移动一定距离的操作。平移矩阵如下：

[1 0 0 tx]
[0 1 0 ty]
[0 0 1 tz]
[0 0 0 1]

其中，tx、ty和tz分别是平移距离。

2. 旋转：旋转是将图形元素围绕某个轴旋转一定角度的操作。旋转矩阵如下：

[cosθ -sinθ 0 0]
[sinθ cosθ 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

其中，θ是旋转角度。

3. 缩放：缩放是将图形元素沿某个方向或多个方向放大或缩小一定比例的操作。缩放矩阵如下：

[sx 0 0 0]
[0 sy 0 0]
[0 0 sz 0]
[0 0 0 1]

其中，sx、sy和sz分别是沿x轴、y轴和z轴的缩放比例。

4. 剪切：剪切是将图形元素沿某个方向倾斜一定角度的操作。剪切矩阵如下：

[1 tanα 0 0]
[0 1 tanβ 0]
[0 0 1 tanγ]
[0 0 0 1]

其中，α、β和γ是剪切角度。

5. 投影：投影是将三维图形元素投影到二维平面上的操作。投影矩阵如下：

[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 1/d 0]

其中，d是投影距离。

三、齐次坐标

齐次坐标是用于表示二维和三维变换的数学工具。齐次坐标将每个点表示为一个四维向量，其中第四个分量称为齐次分量。齐次坐标可以将平移、旋转、缩放和剪切等变换表示为矩阵乘法。

例如，二维平移变换的齐次坐标矩阵如下：

[1 0 0 tx]
[0 1 0 ty]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

二维旋转变换的齐次坐标矩阵如下：

[cosθ -sinθ 0 0]
[sinθ cosθ 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

二维缩放变换的齐次坐标矩阵如下：

[sx 0 0 0]
[0 sy 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

二维剪切变换的齐次坐标矩阵如下：

[1 tanα 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

三维平移变换的齐次坐标矩阵如下：

[1 0 0 tx]
[0 1 0 ty]
[0 0 1 tz]
[0 0 0 1]

三维旋转变换的齐次坐标矩阵如下：

[cosθ -sinθ 0 0]
[sinθ cosθ 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 0 1]

三维缩放变换的齐次坐标矩阵如下：

[sx 0 0 0]
[0 sy 0 0]
[0 0 sz 0]
[0 0 0 1]

三维剪切变换的齐次坐标矩阵如下：

[1 tanα 0 0]
[0 1 tanβ 0]
[0 0 1 tanγ]
[0 0 0 1]

三维投影变换的齐次坐标矩阵如下：

[1 0 0 0]
[0 1 0 0]
[0 0 1 0]
[0 0 1/d 0]

四、结论

变换是图形学中的基本概念，它可以使图形元素进行移动、旋转、缩放或剪切等操作。变换可以应用于二维图形元素和三维图形元素。齐次坐标是用于表示二维和三维变换的数学工具。齐次坐标可以将平移、旋转、缩放和剪切等变换表示为矩阵乘法。