LeetCode 1494. 并行课程II：攻克难题的最佳技巧

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2023-09-27 15:52:33

LeetCode 1494：并行课程 II

背景

在 LeetCode 1494. 并行课程 II 中，你有一组课程，每个课程都有其先修课程。你的目标是安排这些课程的执行顺序，以便所有课程都能在最短时间内完成。此外，你可以使用多台机器并行执行课程。

解决方案：状态压缩动态规划

解决这个问题的一种有效方法是状态压缩动态规划。让我们将问题分解为子问题，并从那里逐步构建最优解。

状态定义

我们定义一个状态 dp[mask][i] ，其中：

mask 是一个二进制掩码，表示已完成课程的集合。
i 是当前使用的机器编号。

dp[mask][i] 表示在已完成课程为 mask 的情况下，使用第 i 台机器执行剩余课程的最小执行时间。

状态转移方程

对于每个状态 dp[mask][i] ，我们可以枚举所有可能执行的课程 j 来更新它的值：

dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask ^ (1 << j)][i - 1] + time[j])

其中：

mask ^ (1 << j) 表示将课程 j 添加到已完成课程的掩码。
i - 1 表示使用上一台机器执行课程 j 。
time[j] 表示执行课程 j 所需的时间。

算法流程

初始化：将 dp[0][0] 设置为 0，将其他状态值设为无穷大。
对于每个课程 j ：
- 枚举所有可能的执行顺序：
  - 如果课程 j 可以执行（没有先修课程或先修课程已完成），则计算 dp[mask][i] 的值。
  - 更新 dp[mask][i] 的值为最小的执行时间。
返回 dp[(1 << n) - 1][m - 1] ，其中 n 是课程数，m 是机器数。

代码示例（Python）

import math

def min_time_to_complete_courses(prerequisites, num_courses, num_machines):
    dp = [[math.inf for _ in range(num_machines)] for _ in range(1 << num_courses)]
    dp[0][0] = 0

    graph = [[] for _ in range(num_courses)]
    for course, prereq in prerequisites:
        graph[prereq].append(course)

    for mask in range(1 << num_courses):
        for i in range(num_machines):
            for course in range(num_courses):
                if (mask & (1 << course)) == 0:
                    time_to_complete = 0
                    for prereq in graph[course]:
                        time_to_complete = max(time_to_complete, dp[mask ^ (1 << course)][i - 1])
                    time_to_complete += 1

                    dp[mask][i] = min(dp[mask][i], time_to_complete)

    return dp[(1 << num_courses) - 1][num_machines - 1]