掌握倍增/Tarjan算法，轻松解决最近公共祖先问题

后端

2022-12-17 08:02:00

倍增/Tarjan算法：快速求解最近公共祖先（LCA）的利器

什么是LCA问题？

在计算机科学中，最近公共祖先（LCA）问题是指，给定一个树结构和两个节点，找到这两个节点的最近公共祖先，即同时是这两个节点祖先的节点中深度最大的一个。

倍增/Tarjan算法简介

解决LCA问题的方法有很多，其中倍增/Tarjan算法以其高效性脱颖而出。该算法将LCA问题的复杂度降低到O(log(n))，其中n是树中的节点数。

算法原理

倍增/Tarjan算法分为预处理和离线查询两个阶段。

预处理：

计算节点深度和父节点： 使用深度优先搜索（DFS）计算每个节点的深度和父节点。
建立倍增表： 对于每个节点，计算其2的幂次方倍数的祖先节点，并将这些祖先节点存储在倍增表中。

离线查询：

离线存储查询： 将所有LCA查询离线存储，避免重复计算。
倍增查询： 对于每个LCA查询，利用倍增表快速找到两个节点的最近公共祖先。

代码示例

class Node:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.parent = None
        self.depth = 0
        self.倍增表 = {}

class Tree:
    def __init__(self):
        self.nodes = {}

    def add_node(self, value):
        node = Node(value)
        self.nodes[value] = node

    def add_edge(self, parent, child):
        parent_node = self.nodes[parent]
        child_node = self.nodes[child]
        child_node.parent = parent_node

    def dfs(self, node, depth):
        node.depth = depth
        for child in node.children:
            self.dfs(child, depth + 1)

    def build_倍增表(self):
        for node in self.nodes.values():
            node.倍增表[0] = node.parent

        for k in range(1, 20):
            for node in self.nodes.values():
                node.倍增表[k] = node.倍增表[k - 1].倍增表[k - 1]

    def lca(self, node1, node2):
        if node1.depth < node2.depth:
            node1, node2 = node2, node1

        diff = node1.depth - node2.depth
        for k in range(20):
            if diff & (1 << k):
                node1 = node1.倍增表[k]

        if node1 == node2:
            return node1

        for k in range(19, -1, -1):
            if node1.倍增表[k] != node2.倍增表[k]:
                node1 = node1.倍增表[k]
                node2 = node2.倍增表[k]

        return node1.parent