欧几里得算法：深入探究最大公约数的奥秘

在数学世界中，欧几里得算法如同一道通往最大公约数奥秘的钥匙，它以简明优雅的步骤，帮助我们揭开隐藏在数字背后的秘密。

欧几里得算法的核心思想是利用两个整数的余数关系，逐层递减，直至余数为零，此时算法停止，最后一次非零余数便是两个整数的最大公约数。

为了更清晰地理解欧几里得算法的运行过程，我们不妨举一个具体的例子。假设我们要计算两个整数345和234的最大公约数。

第一步，我们将345除以234，得到商为1，余数为111。

第二步，我们将234除以111，得到商为2，余数为12。

第三步，我们将111除以12，得到商为9，余数为3。

第四步，我们将12除以3，得到商为4，余数为0。

至此，算法停止，因为余数为零。因此，345和234的最大公约数为3。

欧几里得算法除了上述的除法运算外，还存在另一种更为简洁的表达方式，即辗转相除法。辗转相除法的关键在于每次将较大的数减去较小的数，然后将较小的数变为较大的数，以此类推，直至两数相等，此时该相等值即为两数的最大公约数。

在我们的例子中，我们可以使用辗转相除法来计算345和234的最大公约数。

第一步，将345减去234，得到111。

第二步，将234减去111，得到123。

第三步，将111减去12，得到99。

第四步，将123减去99，得到24。

第五步，将99减去24，得到75。

第六步，将24减去75，得到-51。

第七步，将75减去-51，得到126。

第八步，将-51减去126，得到-177。

第九步，将126减去-177，得到303。

第十步，将-177减去303，得到-480。

第十一步，将303减去-480，得到783。

第十二步，将-480减去783，得到-1263。

第十三步，将783减去-1263，得到2046。

第十四步，将-1263减去2046，得到-3309。

第十五步，将2046减去-3309，得到5355。

第十六步，将-3309减去5355，得到-8664。

第十七步，将5355减去-8664，得到14019。

第十八步，将-8664减去14019，得到-22683。

第十九步，将14019减去-22683，得到36702。

第二十步，将-22683减去36702，得到-59385。

第二十一步，将36702减去-59385，得到96087。

第二十二步，将-59385减去96087，得到-155472。

第二十三步，将96087减去-155472，得到251559。

第二十四步，将-155472减去251559，得到-407031。

第二十五步，将251559减去-407031，得到658590。

第二十六步，将-407031减去658590，得到-1065621。

第二十七步，将658590减去-1065621，得到1724211。

第二十八步，将-1065621减去1724211，得到-2789832。

第二十九步，将1724211减去-2789832，得到4514043。

第三十步，将-2789832减去4514043，得到-7303875。

第三十一步，将4514043减去-7303875，得到11817918。

第三十二步，将-7303875减去11817918，得到-19121793。

第三十三步，将11817918减去-19121793，得到30939711。

第三十四步，将-19121793减去30939711，得到-50061504。

第三十五步，将30939711减去-50061504，得到80901215。

第三十六步，将-50061504减去80901215，得到-130963719。

第三十七步，将80901215减去-130963719，得到211864934。

第三十八步，将-130963719减去211864934，得到-342828653。

第三十九步，将211864934减去-342828653，得到554693587。

第四十步，将-342828653减去554693587，得到-897522240。

第四十一步，将554693587减去-897522240，得到1452215827。

第四十二步，将-897522240减去1452215827，得到-2349738067。

第四十三步，将1452215827减去-2349738067，得到3801953894。

第四十四步，将-2349738067减去3801953894，得到-6151691961。

第四十五步，将3801953894减去-6151691961，得到9953645855。

第四十六步，将-6151691961减去9953645855，得到-16105337816。

第四十七步，将9953645855减去-16105337816，得到26059083671。

第四十八步，将-16105337816减去26059083671，得到-42164421487。

第四十九步，将26059083671减去-42164421487，得到68223505158。

第五十步，将-42164421487减去68223505158，得到-110387926645。

第五十一步，将682235