在群友的提问中找到学成区间DP的答案：多段图最短路径问题｜刷题打卡

2023-11-07 22:59:50

群友的提问

学成大佬，最近在做多段图最短路径的题目，卡了好久了。你能给我讲讲区间DP怎么解决这类问题吗？

问题：给定一个带权有向图 G=(V, E) 和一个整数 k。将顶点集合 V 划分为 k 个互不相交的子集 Vi (2≤k≤n, 1≤i≤k)，使得 E 中的任何一条边 <u, v>，必有 u∈Vi, v∈Vi+1 (1≤i≤k−1) 或 u∈Vk, v∈V1。求从 Vi 到 Vj (1≤i, j≤k) 的最短路径。

什么是区间DP？

区间DP是一种动态规划的技巧，它通常用于解决一类具有区间性质的问题。在这种问题中，问题的解可以通过将问题分解成一系列较小的子问题来获得，并且这些子问题的解可以组合起来得到原问题的解。

在多段图最短路径问题中，我们可以将问题分解成一系列子问题：求从 Vi 到 Vj (1≤i, j≤k) 的最短路径。这些子问题可以进一步分解成更小的子问题，直到问题可以很容易地解决。然后，我们可以使用动态规划的思想，从最小的子问题开始，逐步解决更大的子问题，最终得到原问题的解。

区间DP如何解决多段图最短路径问题？

为了使用区间DP解决多段图最短路径问题，我们需要定义一个状态 dp[i][j]，表示从 Vi 到 Vj 的最短路径。我们可以使用以下递推公式来计算 dp[i][j]：

dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j]) (i≤k<j)

其中，dp[i][k] 表示从 Vi 到 Vk 的最短路径，dp[k][j] 表示从 Vk 到 Vj 的最短路径。

我们可以使用动态规划的思想，从最小的子问题开始，逐步解决更大的子问题。具体步骤如下：

初始化：将 dp[i][j] 初始化为无穷大，其中 1≤i, j≤k。
对于每个子区间 [i, j] (1≤i, j≤k)，做以下操作：
- 如果 i=j，则 dp[i][j] = 0。
- 否则，对于每个 k (i≤k<j)，计算 dp[i][j] = min(dp[i][k] + dp[k][j])。
返回 dp[1][k]，表示从 V1 到 Vk 的最短路径。