万水千山总是情，分割数组续前缘

2023-10-08 23:57:43

当我们审视分割数组的挑战时，不禁感叹算法世界的神奇。分割数组的任务乍听之下似乎相当棘手，但如果我们仔细分析，就会发现其中蕴藏着深刻的奥妙。为了解决这个问题，我们将借助动态规划这一利器，它将帮助我们一步步地优化解法，最终找到问题的最佳答案。

首先，让我们明确问题的本质。我们希望将一个按升序排列的整数数组划分为一个或多个长度至少为 3 的子序列，其中每个子序列都由连续整数组成。如果我们能够成功完成分割，那么就意味着我们找到了数组中所有符合要求的连续子序列。

为了寻找这些连续子序列，我们将采用动态规划的方法。动态规划是一种自底向上的算法策略，它将问题分解成更小的子问题，然后逐步地解决这些子问题，最终得到整个问题的答案。在这个过程中，我们维护一个状态表，状态表中的每个单元格代表着一个子问题的结果，而状态表中的单元格之间又存在着某种递推关系。

对于分割数组的问题，我们可以将状态表定义如下：

dp[i][j] = true if the subarray from i to j can be partitioned into contiguous subsequences of length at least 3

其中，i和j是数组中两个下标，i表示子序列的开始位置，j表示子序列的结束位置。

为了计算状态表中的单元格的值，我们可以使用以下递推关系：

dp[i][j] = dp[i+1][j] || (dp[i][i+1] && dp[i+2][j])

这个递推关系意味着，如果子序列[i+1, j]可以被分割成长度至少为 3 的连续子序列，那么子序列[i, j]也可以被分割成长度至少为 3 的连续子序列。如果子序列[i, i+1]和子序列[i+2, j]都可以被分割成长度至少为 3 的连续子序列，那么子序列[i, j]也可以被分割成长度至少为 3 的连续子序列。

通过使用动态规划，我们可以有效地计算出状态表中的所有单元格的值。如果状态表中的单元格dp[0][n-1]的值为true，那么就意味着整个数组可以被分割成长度至少为 3 的连续子序列。否则，整个数组无法被分割成长度至少为 3 的连续子序列。

有了动态规划的加持，我们就能够轻松地解决分割数组的问题。算法的伪代码如下：

def can_partition(nums):
  n = len(nums)
  dp = [[False] * n for _ in range(n)]

  for i in range(n-2,-1,-1):
    dp[i][i] = True
    dp[i][i+1] = nums[i] == nums[i+1]
    for j in range(i+2,n):
      dp[i][j] = dp[i+1][j] or (dp[i][i+1] and dp[i+2][j])

  return dp[0][n-1]