阶乘后的尾随零：数学质因数的经典应用

引言

阶乘是一种数学运算，它将一个正整数与小于或等于它的所有正整数相乘。例如，5 的阶乘（表示为 5!）为 120，因为它等于 5 × 4 × 3 × 2 × 1。在计算机科学和数学中，阶乘是一个重要的概念，它在组合学、概率论和数论等领域都有着广泛的应用。

尾随零的奥秘

当我们对一个大的阶乘进行计算时，经常会遇到尾随零的问题。例如，100! 的值为 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000，它有 24 个尾随零。这些尾随零是如何产生的呢？

质因数分解的利器

要理解尾随零的产生，我们需要借助质因数分解这一利器。质因数分解是指将一个整数分解成质数乘积的过程。例如，100 可以分解为 2 × 2 × 5 × 5。

尾随零的产生与质因数分解中的 5 有着密切的关系。5 是一个神奇的质数，因为它在阶乘计算中会产生 10。例如，5! 等于 120，其中就有 1 个尾随零，这是因为 5! 中包含一个 5 质因子。同样地，10! 等于 3628800，其中有 2 个尾随零，这是因为 10! 中包含两个 5 质因子。

算法详解

基于上述原理，我们可以设计一个算法来计算阶乘后的尾随零个数：

def trailing_zeros(n):
    """计算 n! 中的尾随零个数。"""
    # 初始化尾随零的个数为 0
    zeros = 0

    # 遍历从 2 到 n 的所有整数
    for i in range(2, n + 1):
        # 计算 i 的质因数分解中 5 的个数
        while i % 5 == 0:
            # 每遇到一个 5，尾随零个数加 1
            zeros += 1
            # 将 i 除以 5，继续寻找 5 的质因子
            i //= 5

    # 返回尾随零的个数
    return zeros

示例代码

# 计算 100! 中的尾随零个数
result = trailing_zeros(100)
print(result)  # 输出：24

总结

通过本文的学习，我们深入理解了阶乘后的尾随零这一数学难题。我们运用了质因数分解这一经典技巧，设计了一个高效的算法来计算尾随零的个数。掌握这一算法不仅可以帮助我们解决 LeetCode 上的难题，更重要的是，它让我们领略了数学与算法之美。