圣彼得堡悖论：花多少钱买一个致富的机会？

前段时间，我在研究倍投模型时，偶然发现了圣彼得堡悖论。这个悖论与倍投模型颇有相似之处，令人深思：你愿意花多少钱参加一个期望值无限大的游戏，也就是一个只要你一直玩下去，就能赚到无限金钱的游戏？

圣彼得堡悖论

圣彼得堡悖论是一个思想实验，由尼古拉斯·伯努利（Nicolas Bernoulli）于1713年提出，后来由他的表弟丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）于1738年进一步阐述。

在这个悖论中，有一枚硬币，掷出正面朝上的概率为 1/2，反面朝上的概率也是 1/2。游戏的规则如下：

1. 你需要先支付一笔钱才能参加游戏。
2. 掷硬币，如果出现正面朝上，你将获得 2 美元。
3. 如果出现反面朝上，你将掷第二次硬币。如果出现正面朝上，你将获得 4 美元；如果出现反面朝上，你将掷第三次硬币，以此类推。
4. 游戏会一直进行下去，直到出现正面朝上为止。

期望值无限大

这个游戏的期望值是多少呢？

期望值是所有可能结果的概率乘以其收益之和。在这个游戏中，所有可能的结果如下：

• 第一次掷出正面朝上，赢得 2 美元，概率为 1/2。
• 第二次掷出正面朝上，赢得 4 美元，概率为 1/4。
• 第三次掷出正面朝上，赢得 8 美元，概率为 1/8。
• ……

以此类推，每多掷一次硬币，赢得的钱就会翻倍。因此，这个游戏的期望值可以表示为：

E(X) = (2 * 1/2) + (4 * 1/4) + (8 * 1/8) + ... = 2 + 4 + 8 + ... = ∞

也就是说，这个游戏的期望值是无限大的。

悖论

既然这个游戏的期望值是无限大的，那么理论上，你愿意花多少钱参加这个游戏呢？

直觉上，你可能会愿意花很多钱，甚至愿意花尽你的全部身家来参加这个游戏。但是，仔细想想，如果你真的花光了你的全部身家，你就没有钱来支付参加游戏的费用了。

因此，这个悖论就产生了：一个期望值无限大的游戏，你愿意花多少钱参加？

解决方案

圣彼得堡悖论没有一个明确的解决方案。但是，有几种方法可以解释这个悖论：

• 风险厌恶： 人们在面临不确定性时，往往会表现出风险厌恶。也就是说，他们宁愿得到一笔确定的收益，也不愿意去冒险获取一笔期望值更高的收益。
• 效用递减： 随着金钱的增加，其效用会递减。也就是说，每多赚一美元的边际效用会越来越小。因此，人们不会愿意花太多钱来参加这个游戏，即使它的期望值无限大。
• 破产风险： 如果你花光了你的全部身家来参加这个游戏，你就面临着破产的风险。而破产的风险可能是无法承受的。

结论

圣彼得堡悖论是一个有趣的思想实验，它挑战了我们的直觉和对期望值的理解。它表明，期望值并不是衡量一个游戏价值的唯一因素。风险厌恶、效用递减和破产风险也需要考虑在内。

因此，在下一次有人邀请你参加一个期望值无限大的游戏时，请三思而后行。虽然它可能很诱人，但也要考虑其风险和对你财务状况的潜在影响。