图算法解决商人过河问题：遍历探索解空间

见解分享

2023-09-05 17:58:30

图算法：解决经典商人过河问题的强大工具

简介

图算法在计算机科学中是一种解决涉及图结构的强大工具，图结构由节点（顶点）和边（连接节点的线段）组成。这些算法能够有效地探索和处理这些图，从而找到特定路径或模式。在本博客中，我们将探讨如何使用图算法来解决一个经典难题——商人过河问题。

商人过河问题

商人过河问题是一个谜题，讲述了三位商人（A、B、C）需要过河，但他们只有一艘只能容纳两名商人的小船。然而，有一个限制条件：商人的重量分别是 A 为 B 的两倍，B 为 C 的两倍。难题的关键是如何让这三位商人安全地过河，同时满足重量限制。

图模型表示

我们可以将商人过河问题建模为一个无向图，其中：

节点： 河的两岸（A、B、C）和船只上的状态（AB、AC、BC、空）
边：商人们可能的移动（乘船过河、下船、空船返回）

图算法

为了解决商人过河问题，我们将使用深度优先搜索（DFS）和回溯相结合的算法。

深度优先搜索 (DFS)： DFS 从起点开始，递归地探索所有可能的路径，直到找到解决方案或穷举所有可能性。
回溯： 当 DFS 发现一条不可行的路径时，它会回溯到上一个状态并尝试其他可能性。

解决方案

初始化图： 使用给定的节点和边创建图。
初始状态： 所有商人都在 A 岸，船只也在 A 岸。
递归探索： 使用 DFS 遍历所有可能的移动序列。
回溯： 如果当前移动序列违反重量限制，则回溯并尝试其他移动序列。
找到解决方案： 当船只和所有商人都在 B 岸时，我们找到了一个解决方案。

代码示例（Python）

from collections import deque

class State:
    def __init__(self, left, right, boat):
        self.left = left
        self.right = right
        self.boat = boat

def solve(left, right, boat):
    # 初始化队列
    queue = deque([(State(left, right, boat), [])])

    while queue:
        # 出队当前状态和移动序列
        state, moves = queue.popleft()

        # 检查是否到达终点
        if state.left == [] and state.right == ['A', 'B', 'C'] and state.boat == 'B':
            return moves

        # 生成所有可能的移动
        for person in state.left + state.right:
            # 如果船在左岸
            if state.boat == 'A':
                # 如果可以移动到右岸
                if person not in state.left or state.left.count(person) == 1:
                    # 移动到右岸
                    new_left = state.left.copy()
                    new_left.remove(person)
                    new_right = state.right.copy()
                    new_right.append(person)
                    queue.append((State(new_left, new_right, 'B'), moves + [person]))
            # 如果船在右岸
            else:
                # 如果可以移动到左岸
                if person not in state.right or state.right.count(person) == 1:
                    # 移动到左岸
                    new_left = state.left.copy()
                    new_left.append(person)
                    new_right = state.right.copy()
                    new_right.remove(person)
                    queue.append((State(new_left, new_right, 'A'), moves + [person]))

    # 如果没有找到解，返回空列表
    return []

# 商人初始状态
left = ['A', 'B', 'C']
right = []
boat = 'A'

# 求解
moves = solve(left, right, boat)

# 打印解
if moves:
    print("解：", moves)
else:
    print("无解")