逐格攻破困境，解析 N 皇后 II 难题

2024-02-12 16:43:33

N 皇后 II：巧用递归算法，揭开棋盘上的秘密

在棋盘游戏的王国中，N 皇后 II 问题犹如一顶神秘的王冠，吸引着无数智慧勇士的竞逐。它是一道兼具优雅与挑战的数学谜题，在国际象棋的棋盘上大显身手。今天，我们就将踏上破解 N 皇后 II 问题的征途，用递归算法这把利剑，刺破谜题的重重迷雾。

N 皇后问题的由来：棋盘上的博弈

N 皇后问题起源于国际象棋，它提出这样一个脑洞大开的挑战：在一个 N×N 大小的棋盘上，如何放置 N 个皇后，让它们互不攻击？皇后可谓棋盘上的重磅级人物，它可以沿水平、垂直或对角线纵横捭阖，所到之处寸草不生。因此，问题的关键在于如何找到一种摆放方案，让这些皇后在任何时刻都保持安全距离。

递归算法：破解复杂问题的利刃

为了征服 N 皇后 II 问题，我们需要引入一位算法界的魔法师——递归算法。它拥有化繁为简的超能力，可以将一个庞大的问题分解成一系列较小的子问题，然后逐一攻破，最终合力解决难题。

深入剖析递归解法：步步为营

破解 N 皇后 II 问题的递归算法流程如下：

设定初始棋盘： 将棋盘视为一个二维数组，0 代表空单元格，1 代表被皇后占据的单元格。
逐行放置皇后： 从棋盘的第一行开始，选择一个空单元格放置皇后，就像在国际象棋游戏中落子。
安全检查： 放置皇后后，需要检查它是否受到了其他皇后的攻击，通过遍历所有皇后并判断它们是否处于同一行、同一列或同一对角线来实现。
递归调用： 如果当前皇后安全无虞，则继续放置下一个皇后，就像在国际象棋游戏中一步步推进。
回溯寻找方案： 如果发现某个皇后受到攻击，则回溯到上一步，尝试放置到另一个空单元格，就像在国际象棋游戏中悔棋。
直至全部放置完成： 重复上述步骤，直到棋盘上所有皇后都成功放置，此时就找到了一个解决方案。

代码示例：一步一脚印

为了加深理解，我们奉上示例代码，展示如何使用递归算法解决 N 皇后 II 问题：

def solve_n_queens(n):
    """
    求解 N 皇后 II 问题，并返回解决方案的数量。

    参数：
        n: 棋盘的大小（N×N）

    返回值：
        解决方案的数量
    """

    # 初始化棋盘
    board = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]

    # 解决方案的数量
    solutions = 0

    def is_safe(row, col):
        """
        检查皇后放置在 (row, col) 位置是否安全。

        参数：
            row: 皇后所在的行
            col: 皇后所在的列

        返回值：
            如果放置安全，则返回 True，否则返回 False
        """

        # 检查同一列是否有皇后
        for i in range(row):
            if board[i][col] == 1:
                return False

        # 检查左上角是否有皇后
        i = row - 1
        j = col - 1
        while i >= 0 and j >= 0:
            if board[i][j] == 1:
                return False
            i -= 1
            j -= 1

        # 检查右上角是否有皇后
        i = row - 1
        j = col + 1
        while i >= 0 and j < n:
            if board[i][j] == 1:
                return False
            i -= 1
            j += 1

        return True

    def place_queens(row):
        """
        递归函数，用于放置皇后。

        参数：
            row: 当前放置皇后的行
        """

        # 如果所有皇后都已放置完成，则返回
        if row == n:
            nonlocal solutions
            solutions += 1
            return

        # 尝试在当前行的每个空单元格放置皇后
        for col in range(n):
            if is_safe(row, col):
                board[row][col] = 1
                place_queens(row + 1)
                board[row][col] = 0

    place_queens(0)
    return solutions