数值计算方法：解线性方程组的直接法

数值计算方法：线性方程组的直接解法

线性方程组是数值计算中经常遇到的问题，在各个科学和工程领域都有着广泛的应用。直接解法是求解线性方程组最经典也是最基础的方法之一，它以其简单、高效的特性而闻名。本文将深入探讨数值计算方法中解线性方程组的直接法，涵盖各种类型方程组的求解技巧和步骤。

0. 问题

线性方程组是指由线性方程组成的系统。一般形式如下：

a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1
a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2
...
a_mx_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m

其中，a_ij 是系数矩阵中的元素，b_i 是常数项，x_j 是未知数。求解线性方程组的目标是找到未知数 x_j 的值，使得方程组成立。

1. 消元法

消元法是求解线性方程组最常用的直接方法之一。其基本思想是通过行变换将原方程组化为三角形或对角形方程组，再通过回代法逐个求出未知数。

1.1 三角方程组

三角方程组是指系数矩阵为三角形矩阵的线性方程组。三角方程组求解简单，从下往上依次代入即可求得未知数。

x_1 = b_1 / a_11
x_2 = (b_2 - a_21x_1) / a_22
...
x_n = (b_n - a_n1x_1 - ... - a_n,n-1x_n-1) / a_nn

1.2 对角方程组

对角方程组是指系数矩阵为主对角线元素非零，其余元素均为零的线性方程组。对角方程组的求解非常简单，直接从主对角线元素处依次求出未知数即可。

x_1 = b_1 / a_11
x_2 = b_2 / a_22
...
x_n = b_n / a_nn

2. 下三角方程组

下三角方程组是指系数矩阵的下三角元素不为零，其余元素均为零的线性方程组。下三角方程组的求解需要借助前向替换法。

x_1 = b_1
x_2 = (b_2 - a_21x_1) / a_22
...
x_n = (b_n - a_n1x_1 - ... - a_n,n-1x_n-1) / a_nn

3. 上三角方程组

上三角方程组是指系数矩阵的上三角元素不为零，其余元素均为零的线性方程组。上三角方程组的求解需要借助后向替换法。

x_n = b_n / a_nn
x_n-1 = (b_n-1 - a_n-1,nx_n) / a_n-1,n-1
...
x_1 = (b_1 - a_12x_2 - ... - a_1nx_n) / a_11