探索LeetCode（64）：解析396-旋转函数，探索数组旋转的奥秘

2024-02-02 13:09:41

理解 LeetCode 396：旋转函数

数组操作中的旋转奥秘

在计算机科学中，数组是存储和处理有序数据元素的至关重要的数据结构。数组旋转是一种常见的操作，它将数组中的元素向左或向右移动一定数量的位置。LeetCode 396-旋转函数是基于数组旋转的概念，要求我们找到数组旋转后可以获得的最大值。

旋转函数的内在逻辑

LeetCode 396-旋转函数的定义为：

F(k) = 0 * nums[k] + 1 * nums[k+1] + ... + (n-1) * nums[n-1]

其中：

nums 是给定的整数数组
n 是数组 nums 的长度
k 是数组旋转的步长

这个函数的本质是计算数组元素与其索引乘积的总和。当数组旋转后，元素的索引将发生变化，导致总和也发生变化。我们的目标是找到旋转步长 k，使得总和最大。

算法解析：分而治之的巧妙方法

我们可以将旋转函数改写为：

F(k) = (0 * nums[k] + 1 * nums[k+1] + ... + (n-1) * nums[n-1]) - (0 * nums[k-1] + 1 * nums[k] + ... + (n-1) * nums[n-2])

仔细观察，我们发现旋转函数与前一个旋转步长的差值为：

F(k) - F(k-1) = nums[k-1] - nums[n-1]

这个差值表示了数组最后一个元素在旋转后移到数组开头所带来的总和变化。

利用这个差值，我们可以开发出一个分而治之的算法：

初始化最大总和 maxSum 为数组元素的总和。
初始化当前总和 sum 为数组元素的总和。
遍历数组索引 k 从 1 到 n-1：
- 计算差值 diff = nums[k-1] - nums[n-1]
- 更新当前总和 sum = sum + diff
- 更新最大总和 maxSum = max(maxSum, sum)
返回最大总和 maxSum。

示例探究：一步步剖析算法

考虑数组 nums = [4, 3, 2, 6]。

k = 1 ：旋转一次后，数组变为 [3, 2, 6, 4]。总和变为 03 + 12 + 26 + 34 = 32。
k = 2 ：旋转两次后，数组变为 [2, 6, 4, 3]。总和变为 02 + 16 + 24 + 33 = 26。
k = 3 ：旋转三次后，数组变为 [6, 4, 3, 2]。总和变为 06 + 14 + 23 + 32 = 20。

因此，旋转步长 k = 1 时，总和最大为 32。

代码实现：用 Python 编写算法

def maxRotateFunction(nums):
    n = len(nums)
    sum = 0
    for i in range(n):
        sum += nums[i] * i

    max_sum = sum
    for k in range(1, n):
        diff = nums[k-1] - nums[n-1]
        sum += diff
        max_sum = max(max_sum, sum)

    return max_sum