倍增与最近公共祖先：精进算法的利器

见解分享

2023-10-15 22:08:10

倍增算法：指数级思维的体现

在计算机科学的浩瀚世界中，倍增算法犹如一颗璀璨的宝石，以其独树一帜的指数级思维方式，为解决复杂问题提供了一条捷径。

倍增算法的精髓在于利用对数的性质，将问题规模不断缩小，就像剥洋葱一样一层层揭开，最终到达问题核心。这种方式不仅可以显著缩短处理时间，还可以大幅降低算法复杂度。

最近公共祖先：寻找家族关系的利器

最近公共祖先算法，顾名思义，它可以帮助我们在树形结构中寻找两个节点的最近公共祖先，就像在庞大的家族谱中找到两个后代的共同祖先。这个算法在诸多领域都有着广泛的应用，比如寻找最短路径、计算树的直径和确定两个节点之间的关系。

倍增与最近公共祖先算法的携手共舞

倍增算法和最近公共祖先算法可谓珠联璧合，它们强强联手，创造出解决问题的强大组合拳。通过巧妙的结合，倍增算法的指数级思维为最近公共祖先算法提供了动力，使后者能够以更快的速度在树形结构中穿梭，找到所需的节点。

倍增算法的实现

以下是用 Python 实现的倍增算法示例：

def 倍增(graph, source):
  # 初始化倍增表
  dp = [[None for _ in range(log2(len(graph)))] for _ in range(len(graph))]
  dp[source][0] = source

  # 填充倍增表
  for i in range(1, log2(len(graph))):
    for j in range(len(graph)):
      if dp[j][i - 1] is not None:
        dp[j][i] = dp[dp[j][i - 1]][i - 1]

  # 查询最近公共祖先
  def lca(u, v):
    if depth[u] < depth[v]:
      u, v = v, u
    # 使用倍增算法将u提升到和v同一深度
    diff = depth[u] - depth[v]
    for i in range(log2(diff) + 1):
      if diff & (1 << i):
        u = dp[u][i]
    # 使用倍增算法查找最近公共祖先
    for i in range(log2(len(graph)) - 1, -1, -1):
      if dp[u][i] != dp[v][i]:
        u = dp[u][i]
        v = dp[v][i]
    return dp[u][0]

  return lca

最近公共祖先算法的实现

以下是用 Python 实现的最近公共祖先算法示例：

def 最近公共祖先(graph, root):
  # 深度优先搜索预处理
  depth = [-1 for _ in range(len(graph))]
  parent = [-1 for _ in range(len(graph))]
  dfs(root, -1, 0, depth, parent)

  # 构建倍增表
  dp = [[None for _ in range(log2(len(graph)))] for _ in range(len(graph))]
  for i in range(len(graph)):
    dp[i][0] = parent[i]

  # 填充倍增表
  for i in range(1, log2(len(graph))):
    for j in range(len(graph)):
      if dp[j][i - 1] is not None:
        dp[j][i] = dp[dp[j][i - 1]][i - 1]

  # 查询最近公共祖先
  def lca(u, v):
    # 将u和v提升到同一深度
    while depth[u] != depth[v]:
      if depth[u] < depth[v]:
        v = parent[v]
      else:
        u = parent[u]

    # 使用倍增算法查找最近公共祖先
    for i in range(log2(len(graph)) - 1, -1, -1):
      if dp[u][i] != dp[v][i]:
        u = dp[u][i]
        v = dp[v][i]
    return dp[u][0]

  return lca

# 深度优先搜索预处理函数
def dfs(u, p, d, depth, parent):
  depth[u] = d
  parent[u] = p
  for v in graph[u]:
    if v != p:
      dfs(v, u, d + 1, depth, parent)