化繁为简：解密最小操作次数使数组元素相等

闲谈

2023-10-16 02:53:02

在计算机科学中，算法设计是一个至关重要的领域，它旨在为解决复杂问题找到有效且高效的解决方案。在这一算法之旅中，我们深入探讨一个经典问题：453. 最小操作次数使数组元素相等。

问题概要

给定一个正整数数组 nums，其中每个元素都表示数组中的一个数字。我们的目标是通过以下操作使数组中的所有元素相等：

选择数组中的任意一个元素，并增加或减少其值 1。

我们的任务是确定使数组中的所有元素相等所需的最小操作次数。

解决策略

解决此问题的一种直观方法是通过暴力枚举。我们可以尝试所有可能的数组元素值，并计算使所有元素都等于该值的所需操作次数。然而，这种方法的计算复杂度为 O(n^2)，其中 n 是数组 nums 的长度。对于大型数组，这将变得非常耗时。

一种更有效的方法是使用数学技巧。我们注意到，使数组中的所有元素相等本质上是要将它们移动到数组中某一个元素的值上。为了使操作次数最小，我们应该选择数组中所有元素的中位数 。

中位数是一个数组中中间值，当数组元素按从小到大排序时，它将数组分成两半。将所有元素移动到中位数上所需的最小操作次数等于将所有元素移动到中位数与各个元素之间差值的绝对值之和。

算法步骤

对数组 nums 进行排序。
确定数组的中位数 median。
对于数组中的每个元素 num，计算与中位数 median 之间的差值 diff。
累加差值 diff 的绝对值，得到总操作次数 totalOps。
返回 totalOps。

代码实现

以下代码使用上述算法实现了该问题：

def minOperations(nums):
    """
    :type nums: List[int]
    :rtype: int
    """
    # 对数组进行排序
    nums.sort()

    # 确定中位数
    n = len(nums)
    if n % 2 == 0:
        median = (nums[n // 2] + nums[n // 2 - 1]) / 2
    else:
        median = nums[n // 2]

    # 计算操作次数
    totalOps = 0
    for num in nums:
        totalOps += abs(num - median)

    return totalOps