独家解读：水壶测量的奥秘

见解分享

2023-12-08 19:36:48

巧解水壶难题：动态规划的魅力

水壶问题

我们有两个容量分别为 A 和 B 升的水壶，还有口无限容量的水井。目标是用这两把水壶精确取到 C 升水。乍看之下，这似乎是不可能的，但借助数学推演和算法设计，我们可以在某些情况下完美解决这一难题。

动态规划的登场

要解决水壶问题，需要引入强大的动态规划算法。动态规划是一种自底向上解题的方法，将问题分解成一系列子问题逐一求解。

对于水壶问题，我们可以定义状态 dp(a, b)，其中 a 表示水壶 A 中的水量，b 表示水壶 B 中的水量。目标是找到一种方法，将状态 (0, 0) 转移到状态 (c, 0) 或 (0, c)，其中 c 为目标容量。

状态转移方程

为了从一个状态转移到另一个状态，我们可以执行以下操作：

填充水壶 A： 从水井中取水填充水壶 A。
填充水壶 B： 从水井中取水填充水壶 B。
倒空水壶 A： 将水壶 A 中的水倒空。
倒空水壶 B： 将水壶 B 中的水倒空。
从水壶 A 倒水到水壶 B： 将水壶 A 中的水倒入水壶 B，直到水壶 B 装满或水壶 A 倒空。
从水壶 B 倒水到水壶 A： 将水壶 B 中的水倒入水壶 A，直到水壶 A 装满或水壶 B 倒空。

根据这些操作，我们可以定义以下状态转移方程：

dp(a, b) = {
  (A, 0),  # 从水井中填充水壶 A
  (0, B),  # 从水井中填充水壶 B
  (0, a),  # 倒空水壶 A
  (a, 0),  # 倒空水壶 B
  (a - (B - b), B),  # 从水壶 A 倒水到水壶 B
  (A, b - (A - a)),  # 从水壶 B 倒水到水壶 A
}

算法实现

有了状态转移方程，我们可以使用动态规划算法求解水壶问题：

初始化二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从状态 (0, 0) 到状态 (i, j) 的最短转移步数。
遍历所有可能的 (a, b)，并对每个 (a, b) 执行以下操作：
- 如果 dp[a][b] 已被初始化，则继续下一步。
- 否则，使用状态转移方程计算 dp[a][b]。
检查 dp[c][0] 或 dp[0][c] 是否已初始化。如果已初始化，则说明可以从两把水壶中准确测量出 C 升水。
输出最短转移步数。

代码示例（Python）：

def water_jugs(A: int, B: int, C: int) -> int:
  """
  动态规划解决水壶问题。

  参数：
    A：水壶 A 的容量
    B：水壶 B 的容量
    C：目标容量

  返回：
    最短转移步数，如果无法测量则返回 -1。
  """

  # 初始化状态数组
  dp = [[0] * (B + 1) for _ in range(A + 1)]

  # 遍历所有可能状态
  for a in range(A + 1):
    for b in range(B + 1):
      # 执行状态转移
      for op in [(A, 0), (0, B), (0, a), (a, 0), (a - (B - b), B), (A, b - (A - a))]:
        if dp[a][b] == 0 or dp[a][b] > dp[op[0]][op[1]] + 1:
          dp[a][b] = dp[op[0]][op[1]] + 1

  # 检查是否存在可行解
  if dp[C][0] == 0 and dp[0][C] == 0:
    return -1

  # 返回最短转移步数
  return min(dp[C][0], dp[0][C])